Question

【題目】知識鏈接：

“轉化、化歸思想”是數學學習中常用的一種探究新知、解決問題的基本的數學思想方法，通過“轉化、化歸”通常可以實現化未知為已知，化復雜為簡單，從而使問題得以解決.

（1）問題背景：已知：△ABC.試說明：∠A+∠B+∠C=180°.

問題解決：（填出依據）

解：（1）如圖①，延長AB到E，過點B作BF∥AC.

∵BF∥AC（作圖）

∴∠1=∠C（ ）

∠2=∠A（ ）

∵∠2+∠ABC+∠1=180°（平角的定義）

∴∠A+∠ABC+∠C=180°（等量代換）

小結反思：本題通過添加適當的輔助線，把三角形的三個角之和轉化成了一個平角，利用平角的定義，說明了數學上的一個重要結論“三角形的三個內角和等于180°.”

（2）類比探究：請同學們參考圖②，模仿（1）的解決過程試說明“三角形的三個內角和等于180°”

（3）拓展探究：如圖③，是一個五邊形,請直接寫出五邊形ABCDE的五個內角之和∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= .

Answer 1

【答案】(1)(2) 見解析；（3）540°

【解析】

(1)運用平行線的性質進行分析即可；（2）運用兩次兩直線平行，內錯角相等即可;(3)連接EC、EB，轉換成三個三角形的內角和即可.

解：(1)如圖①，延長AB到E，過點B作BF∥AC.

∵BF∥AC（作圖）

∴∠1=∠C（兩直線平行，內錯角相等）

∠2=∠A（兩直線平行，同位角相等）

∵∠2+∠ABC+∠1=180°（平角的定義）

∴∠A+∠ABC+∠C=180°（等量代換）

（2）如圖②，過C作MN∥AB

∵MN∥AB

∴∠1=∠B,∠2=∠A（兩直線平行，內錯角相等）

又∵∠1+∠ACB+∠2=180°（平角的定義）

∴A+∠ABC+∠C=180°

（3）如圖：連接EC、EB，

∵在△ABC、△ACD和△AED中，

∴∠BAC+∠B+∠ACB=180"，∠DAC+∠ACD+∠ADC=180°∠DAE+∠E+∠ADE=180°

∴∠BAE+∠B+∠DCB+ ∠CDE+∠E

=∠BAC+∠CAD+∠DAE+∠BCA+∠ACD+∠ADE+∠ADC+∠B+∠E

=(∠BAC+∠B+∠ACB)+( ∠DAC+∠ACD+∠ADC)+( ∠DAE+∠E+∠ADE)

=540°