Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD=6，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°，點M、N分別在AB、AD邊上，若AM：MB=AN：ND=1：2．則 cos∠MCN= ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：∵AB=AD=6，AM：MB=AN：ND=1：2， ∴AM=AN=2，BM=DN=4，
連接MN，連接AC，

∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°
在Rt△ABC與Rt△ADC中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），
∴∠BAC=∠DAC= ∠BAD=30°，MC=NC，
∴BC= AC，
∴AC2=BC2+AB2 ， 即（2BC）2=BC2+AB2 ，
3BC2=AB2 ，
∴BC=2 ，
在Rt△BMC中，CM= =2 ，
∵AN=AM，∠MAN=60°，
∴△MAN是等邊三角形，
∴MN=AM=AN=2，
過M點作ME⊥CN于E，設NE=x，則CE=2 ﹣x，
∴MN2﹣NE2=MC2﹣EC2 ， 即4﹣x2=（2 ）2﹣（2 ﹣x）2 ，
解得：x= ，
∴EC=2 ﹣ = ，
∴cos∠MCN= = = ，
故答案為： ．
連接AC，通過三角形全等，求得∠BAC=30°，從而求得BC的長，然后根據勾股定理求得CM的長，連接MN，過M點作ME⊥CN于E，則△MNA是等邊三角形求得MN=2，設NE=x，表示出CE，根據勾股定理即可求得ME，然后求得cos∠MCN的值即可．