Question

【題目】如圖，已知∠MON=120°，點(diǎn)A，B分別在OM，ON上，且OA=OB=a，將射線OM繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到OM′，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜120°且α≠60°），作點(diǎn)A關(guān)于直線OM′的對(duì)稱點(diǎn)C，畫(huà)直線BC交OM′于點(diǎn)D，連接AC，AD，有下列結(jié)論：

①AD=CD；

②∠ACD的大小隨著α的變化而變化；

③當(dāng)α=30°時(shí)，四邊形OADC為菱形；

④△ACD面積的最大值為a2；

其中正確的是_____．（把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)都填上）．

Answer 1

【答案】①③④

【解析】①根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)：對(duì)稱點(diǎn)的連線被對(duì)稱軸垂直平分可得：OM'是AC的垂直平分線，再由垂直平分線的性質(zhì)可作判斷；

②以O為圓心，以OA為半徑作⊙O，交AO的延長(zhǎng)線于E，連接BE，則A、B、C都在⊙O上，根據(jù)四點(diǎn)共圓的性質(zhì)得：∠ACD=∠E=60°，說(shuō)明∠ACD是定值，不會(huì)隨著α的變化而變化；

③當(dāng)α=30°時(shí)，即∠AOD=∠COD=30°，證明△AOC是等邊三角形和△ACD是等邊三角形，得OC=OA=AD=CD，可作判斷；

④先證明△ACD是等邊三角形，當(dāng)AC最大時(shí)，△ACD的面積最大，當(dāng)AC為直徑時(shí)最大，根據(jù)面積公式計(jì)算后可作判斷．

①∵A、C關(guān)于直線OM'對(duì)稱，

∴OM'是AC的垂直平分線，

∴CD=AD，故①正確；

②連接OC，

由①知：OM'是AC的垂直平分線，∴OC=OA，

∴OA=OB=OC，

以O為圓心，以OA為半徑作⊙O，交AO的延長(zhǎng)線于E，連接BE，

則A、B、C都在⊙O上，

∵∠MON=120°，

∴∠BOE=60°，

∵OB=OE，

∴△OBE是等邊三角形，

∴∠E=60°，

∵A、C、B、E四點(diǎn)共圓，

∴∠ACD=∠E=60°，故②不正確；

③當(dāng)α=30°時(shí)，即∠AOD=∠COD=30°，

∴∠AOC=60°，

∴△AOC是等邊三角形，

∴∠OAC=60°，OC=OA=AC，

由①得：CD=AD，

∴∠CAD=∠ACD=∠CDA=60°，

∴△ACD是等邊三角形，

∴AC=AD=CD，

∴OC=OA=AD=CD，

∴四邊形OADC為菱形，故③正確；

④∵CD=AD，∠ACD=60°，

∴△ACD是等邊三角形，

當(dāng)AC最大時(shí)，△ACD的面積最大，

∵AC是⊙O的弦，即當(dāng)AC為直徑時(shí)最大，此時(shí)AC=2OA=2a，α=90°，

∴△ACD面積的最大值是：AC2=，故④正確，

所以本題結(jié)論正確的有：①③④，

故答案為：①③④．