Question

【題目】如圖，已知直線l1∥l2 ， 線段AB在直線l1上，BC垂直于l1交l2于點C，且AB=BC，P是線段BC上異于兩端點的一點，過點P的直線分別交l2、l1于點D、E（點A、E位于點B的兩側），滿足BP=BE，連接AP、CE．

（1）求證：△ABP≌△CBE；
（2）連結AD、BD，BD與AP相交于點F．如圖2．
①當 =2時，求證：AP⊥BD；
②當 =n（n＞1）時，設△PAD的面積為S1 ， △PCE的面積為S2 ， 求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵BC⊥直線l1，

∴∠ABP=∠CBE，

在△ABP和△CBE中

∴△ABP≌△CBE（SAS）

（2）

①證明：連結BD，延長AP交CE于點H，

∵△ABP≌△CBE，

∴∠APB=∠CEB，

∵∠PAB+∠APB=90°，

∴∠PAB+∠CEB=90°，

∴AH⊥CE，

∵ =2，即P為BC的中點，直線l1∥直線l2，

∴△CPD∽△BPE，

∴ ，

∴DP=PE，

∴四邊形BDCE是平行四邊形，

∴CE∥BD，

∵AH⊥CE，

∴AP⊥BD；

②解：∵ =n，

∴BC=nBP，

∴CP=（n﹣1）BP，

∵CD∥BE，

易得△CPD∽△BPE，

∴ =n﹣1，

設△PBE的面積S△PBE=S，則△PCE的面積S△PCE滿足 =n﹣1，

即S2=（n﹣1）S，

∵S△PAB=S△BCE=nS，

∴S△PAE=（n+1）S，

∵ = =n﹣1，

∴S1=（n﹣1）S△PAE，即S1=（n+1）（n﹣1）S，

∴ = =n+1．

【解析】（1）求出∠ABP=∠CBE，根據SAS推出即可；（2）①延長AP交CE于點H，求出AP⊥CE，證出△CPD∽△BPE，推出DP=PE，求出平行四邊形BDCE，推出CE∥BD即可；②分別用S表示出△PAD和△PCE的面積，代入求出即可．
【考點精析】認真審題，首先需要了解相似三角形的性質(對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形)．