Question

【題目】如圖，已知矩形ABCD，AD=4，CD=10，P是AB上一動點，M、N、E分別是PD、PC、CD的中點．
（1）求證：四邊形PMEN是平行四邊形；
（2）請直接寫出當AP為何值時，四邊形PMEN是菱形．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵M，E分別為PD，CD的中點，

∴ME∥PC，

同理可證：ME∥PD，

∴四邊形PMEN為平行四邊形

（2）解：當PA=5時，四邊形PMEN為菱形．

理由：∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠A=∠B=90°，AD=BC，

∵AP=5，AB=CD=10，

∴AP=BP，

在△APD和△BPC中，

，

∴△APD≌△BPC（SAS），

∴PD=PC，

∵M、N、E分別是PD、PC、CD的中點，

∴EN=PM= PD，PN=EM= PC，

∴PM=EM=EN=PN，

∴四邊形PMEN是菱形

【解析】（1）由M、N、E分別是PD、PC、CD的中點，根據(jù)三角形中位線的性質，可證得ME∥PC，EN∥PD，繼而證得四邊形PMEN是平行四邊形；（2）由AP=BP=5，可證得△APD≌△BPC（SAS），繼而可得PD=PC，則可得PM=EM=EN=PN，繼而證得四邊形PMEN是菱形．
【考點精析】通過靈活運用平行四邊形的判定和菱形的判定方法，掌握兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；任意一個四邊形，四邊相等成菱形；四邊形的對角線，垂直互分是菱形．已知平行四邊形，鄰邊相等叫菱形；兩對角線若垂直，順理成章為菱形即可以解答此題．