Question

【題目】在一次課題學習中，老師讓同學們合作編題．某學習小組受趙爽弦圖的啟發，編寫了下面這道題，請你來解一解．
如圖，將矩形ABCD的四邊BA、CB、DC、AD分別延長至E、F、G、H，使得AE＝CG，BF＝DH，連結EF、FG、GH、HE．

（1）求證：四邊形EFGH為平行四邊形；
（2）若矩形ABCD是邊長為1的正方形，且∠FEB＝45°，tan∠AEH＝2，求AE的長．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：在矩形ABCD中，AD=BC，∠BAD=∠BCD=90°.

又∵BF=DH,

∴AD+DH=BC+BF

即AH=CF.

在Rt△AEH中，EH=.

在Rt△CFG中，FG=.

∵AE=CG，

∴EH=FG.

同理得，EF=HG.

∴四邊形EFGH為平行四邊形.

（2）

解：在正方形ABCD中，AB=AD=1.

設AE=x，則BE=x+1.

∵在Rt△BEF中，∠BEF=45°.

∴BE=BF.

∵BF=DH,

∴DH=BE=x+1.

∴AH=AD+DH=x+2.

∵在Rt△AEH中，tan∠AEH=2，

∴AH=2AE.

∴2+x=2x.

∴x=2.

即AE=2.

【解析】（1）在矩形ABCD中，AD=BC，∠BAD=∠BCD=90°.根據BF=DH,得出AH=CF.根據勾股定理 EH=.FG=.
由AE=CG得出EH=FG.EF=HG；從而證明四邊形EFGH為平行四邊形.
（2）在正方形ABCD中，AB=AD=1； 設AE=x，則BE=x+1；在Rt△BEF中，∠BEF=45°.得出BE=BF=DH=x+1；AH=AD+DH=x+2.
在Rt△AEH中，利用正切即可求出AE的長.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解等腰三角形的性質的相關知識，掌握等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角），以及對勾股定理的概念的理解，了解直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．