Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，BC=2，∠BAC=30°，斜邊AB的兩個端點分別在相互垂直的射線OM、ON上滑動，下列結論：
①若C、O兩點關于AB對稱，則OA=2 ；
②C、O兩點距離的最大值為4；
③若AB平分CO，則AB⊥CO；
④斜邊AB的中點D運動路徑的長為 ；
其中正確的是（把你認為正確結論的序號都填上）．

Answer 1

【答案】①②③
【解析】解：在Rt△ABC中，∵BC=2，∠BAC=30°，
∴AB=4，AC= =2 ，①若C、O兩點關于AB對稱，如圖1，

∴AB是OC的垂直平分線，
則OA=AC=2 ；
所以①正確；②如圖1，取AB的中點為E，連接OE、CE，
∵∠AOB=∠ACB=90°，
∴OE=CE= AB=2，
當OC經過點E時，OC最大，
則C、O兩點距離的最大值為4；
所以②正確；③如圖2，同理取AB的中點E，則OE=CE，

∵AB平分CO，
∴OF=CF，
∴AB⊥OC，
所以③正確；④如圖3，

斜邊AB的中點D運動路徑是：以O為圓心，以2為半徑的圓周的 ，
則： =π．
所以④不正確；
綜上所述，本題正確的有：①②③；
所以答案是：①②③．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解含30度角的直角三角形的相關知識，掌握在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半，以及對勾股定理的概念的理解，了解直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．