Question

【題目】已知平行四邊形ABCD中，N是邊BC上一點，延長DN、AB交于點Q，過A作AM⊥DN于點M，連接AN，則AD⊥AN．

（1）如圖①，若tan∠ADM＝，MN＝3，求BC的長；

（2）如圖②，過點B作BH∥DQ交AN于點H，若AM＝CN，求證：DM＝BH+NH．

Answer 1

【答案】（1）BC＝；（2）見解析.

【解析】

（1）如圖①中，設AM＝3k，DM＝4k，則AD＝5k，由△ADM∽△NDA，可得AD2＝DMAN，由此構建方程即可解決問題．

（2）如圖②中，連接CH，在DM上取一點K，使得DK＝BH．證明△ADK≌△CBH（SAS），推出AK＝CH，再證明Rt△AMK≌Rt△CNH（HL），推出MK＝HN即可解決問題．

（1）解：如圖①中，

∵AM⊥DN，

∴∠AMD＝90°，

∵tan∠ADM＝＝，

∴可以假設AM＝3k，DM＝4k，則AD＝5k，

∵AD⊥AN，

∴∠DAN＝90°＝∠AMD，

∵∠ADM＝∠ADN，

∴△ADM∽△NDA，

∴AD2＝DMAN，

∴（5k）2＝4k（4k+3），

解得k＝，

∴AD＝，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴BC＝AD＝．

（2）證明：如圖②中，連接CH，在DM上取一點K，使得DK＝BH．

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，AD＝BC，

∴∠ADK＝∠BNQ，

∵BH∥DQ，

∴∠CBH＝∠BNQ，

∴∠ADK＝∠CBH，

∵DK＝BH，DA＝BC，

∴△ADK≌△CBH（SAS），

∴AK＝CH，

∵AM⊥DQ，AN⊥AD，AD∥BC，

∴AN⊥BC，

∴∠AMK＝∠CNH＝90°，

∵AM＝CN，

∴Rt△AMK≌Rt△CNH（HL），

∴MK＝NH，

∴DM＝DK+MK＝BH+HN．