Question

【題目】如圖，已知AB∥CD，點E在直線AB，CD之間．

（1）求證：∠AEC=∠BAE+∠ECD；
（2）若AH平分∠BAE，將線段CE沿CD平移至FG．
①如圖2，若∠AEC=90°，HF平分∠DFG，求∠AHF的度數；
②如圖3，若HF平分∠CFG，試判斷∠AHF與∠AEC的數量關系并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖1，過點E作直線EN∥AB，

∵AB∥CD，

∴EN∥CD，

∴∠BAE=∠AEN，∠DCE=∠CEN，

∴∠AEC=∠AEN+∠CEN=∠BAH+∠ECD

（2）解：∵AH平分∠BAE，

∴∠BAH=∠EAH，

①∵HF平分∠DFG，設∠GFH=∠DFH=x，

又CE∥FG，

∴∠ECD=∠GFD=2x，

又∠AEC=∠BAE+∠ECD，∠AEC=90°，

∴∠BAH=∠EAH=45°﹣x，

如圖2，過點H作l∥AB，

易證∠AHF=∠BAH+∠DFH=45°﹣x+x=45°；

②設∠GFD=2x，∠BAH=∠EAH=y，

∵HF平分∠CFG，

∴∠GFH=∠CFH=90°﹣x，

由（1）知∠AEC=∠BAE+∠ECD=2x+2y，

如圖3，過點H作l∥AB，

易證∠AHF﹣y+∠CFH=180°，

即∠AHF﹣y+90°﹣x=180°，∠AHF=90°+（x+y），

∴∠AHF=90°+ ∠AEC．（或2∠AHF﹣∠AEC=180°．）

【解析】（1）過E作EF∥AB，可得∠A=∠AEF，利用平行于同一條直線的兩直線平行得到EF與CD平行，再得到一對內錯角相等，進而得出答案；（2）①HF平分∠DFG，設∠GFH=∠DFH=x，根據平行線的性質可以得到∠AHF的度數；②設∠GFD=2x，∠BAH=∠EAH=y，根據角平分線的性質以及平行線的性質即可得到∠AHF與∠AEC的數量關系．
【考點精析】認真審題，首先需要了解平行線的性質(兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內錯角相等；兩直線平行，同旁內角互補)，還要掌握平移的性質(①經過平移之后的圖形與原來的圖形的對應線段平行（或在同一直線上）且相等，對應角相等，圖形的形狀與大小都沒有發生變化；②經過平移后，對應點所連的線段平行（或在同一直線上）且相等)的相關知識才是答題的關鍵．