Question

【題目】如圖，△ABC內接于⊙O，∠A的度數為60°，∠ABC、∠ACB的角平分線分別交于AC、AB于點D、E，CE、BD相交于點F.以下四個結論：①；②；③；④.其中結論一定正確的序號數是( )

A. ①② B. ①③ C. ③④ D ②④

Answer 1

【答案】B

【解析】①由于∠A=60°；在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A=120°，即∠FBC+∠FCB=60°，而∠BFE正好是△BFC的外角，即∠BFE=∠FBC+∠FCB=60°所以，故正確；

②若BC=BD，需滿足一個條件：∠BCD=∠BDC，且看這兩個角的表達式：∠BCD=180°-∠A-2∠DBA=120°-2∠DBA；∠BDC=∠BDA+∠A=60°+∠DBA；聯立兩式，可得∠DBA=20°；此時∠ABC=40°，而沒有任何條件可以說明∠ABC的度數是40°，即可得出本選項錯誤．

③由于F是∠ABC和∠ACB角平分線的交點，因此F是△ABC的內心，可過F作AB、AC的垂線，通過證構建的直角三角形全等，得出FE=FD的結論，因結論正確；

④若BF=2DF，則F是△ABC的重心，即三邊中線的交點，而題目給出的條件是F是△ABC的內心，顯然兩者的結論相矛盾，因此不正確．

所以本題正確的結論：①③．

故選B.