Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(，0)，B(3，2)，C（0，2)．動點(diǎn)D以每秒1個(gè)單位的速度

從點(diǎn)0出發(fā)沿OC向終點(diǎn)C運(yùn)動，同時(shí)動點(diǎn)E以每秒2個(gè)單位的速度從點(diǎn)A出發(fā)沿AB向終點(diǎn)B運(yùn)動．過點(diǎn)E作EF上AB，交BC于點(diǎn)F，連結(jié)DA、DF．設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒．

(1)求∠ABC的度數(shù)；

(2)當(dāng)t為何值時(shí)，AB∥DF；

(3)設(shè)四邊形AEFD的面積為S．

①求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；

②若一拋物線y=x2+mx經(jīng)過動點(diǎn)E，當(dāng)S<2時(shí)，求m的取值范圍(寫出答案即可)．

Answer 1

【答案】(1)30o;(2) ;(3)

【解析】試題分析：（1）求∠ABC的度數(shù)即求∠BAx的度數(shù)，過B作BM⊥x軸于M，則AM=2，BM=2，由此可得出∠BAM即∠ABC的度數(shù)．
（2）當(dāng)AB∥FD時(shí)，∠CFD=∠B=30°，可在直角三角形CDF中，用CD的長表示出CF，同理可在直角三角形FEB中，用BE的長表示出BF，然后可根據(jù)CF+BF=BC來求出t的值．
（3）①連接DE，根據(jù)D、E的速度可知AE=2OD，而AE=2EG，因此OD∥=EG，即四邊形ODEG是矩形，因此DE∥x軸，那么四邊形AEFD的面積可分成三角形ADE和三角形EFD兩部分來求出．兩三角形都以DE為底，兩三角形高的和正好是OC的長，因此四邊形ADEF的面積就等于 DEOC，關(guān)鍵是求出DE的長．如果過A作DE的垂線不難得出DE=OA+AEsin60°，由此可得出S，t的函數(shù)關(guān)系式．
②已知了S的取值范圍可根據(jù)①的函數(shù)關(guān)系式求出t的取值范圍．在①題已經(jīng)求得了E點(diǎn)坐標(biāo)，將其代入拋物線的解析式中，用m表示出t的值，然后根據(jù)t的取值范圍即可求出m的取值范圍．

試題解析：

（1）過點(diǎn)B作BM⊥x軸于點(diǎn)M

∵C（0，2），B（ ）

∴BC∥OA
∴∠ABC=∠BAM
∵BM=2，AM=

∴tan∠BAM=

∴∠ABC=∠BAM=30°．
（2）∵AB∥DF
∴∠CFD=∠CBA=30°
在Rt△DCF中，CD=2-t，∠CFD=30°，
∴CF=（2-t）
∴AB=4，
∴BE=4-2t，∠FBE=30°，
∴BF=

∴

∴t=

（3）①連接DE，過點(diǎn)E作EG⊥x軸于點(diǎn)G，
則EG=t，OG=t+

∴E(t+,t)

∴DE∥x軸
S=S△DEF+S△DEA= DE×CD+DE×OD

=t+

②當(dāng)S＜時(shí)，

由①可知，S=t+

∴t+<

∴t＜1，
∵t＞0，
∴0＜t＜1，
∵y=-x2+mx，點(diǎn)E(t+,t)

當(dāng)t=0時(shí)，E（,0）

∴m=

當(dāng)t=1時(shí)，E（,1）

∴m=

∴