Question

【題目】如圖，AB是⊙O直徑，OD⊥弦BC與點F，且交⊙O于點E，且∠AEC＝∠ODB．

（1）判斷直線BD和⊙O的位置關系，并給出證明；

（2）當tan∠AEC=，BC＝8時，求OD的長．

Answer 1

【答案】（1）直線BD和⊙O相切，證明見解析；（2）

【解析】（1）因為同弧所對的圓周角相等，所以有∠AEC=∠ABC，又∠AEC=∠ODB，所以∠ABC=∠ODB，OD⊥弦BC，即∠ABC+∠BOD=90°，則有∠ODB+∠BOD=90°，即BD垂直于AB，所以BD為切線．
（2）由垂徑定理可得FB=FC=4，再由三角關系得到DF=，BD可由勾股定理求出，再由△DBF∽△ODB,并根據對應線段成比例求出OD．

解：（1）直線BD和⊙O相切

證明：∵∠AEC=∠ODB，∠AEC=∠ABC

∴∠ABC=∠ODB

∵OD⊥BC

∴∠DBC+∠ODB=90°

∴∠DBC+∠ABC=90°

∴∠DBO=90°

∴直線BD和⊙O相切．

（2）∵OD⊥BC

∴FB=FC=4

∵tan∠AEC=tan∠ODB=3:4

∴BF：DF =3:4 ，

∴DF=

利用勾股定理可求得BD=

通過證明△DBF∽△ODB,利用相似比可得OD：DB=BD：FD

所以求出OD=