Question

【題目】如圖，已知△ABC是邊長為12的正三角形，AD是邊BC上的高線，CF是外角ACE的平分線，點P是邊BC上的一個動點（與點B，C不重合），∠APQ ＝60°，射線PQ分別與邊AC，射線CF交于點N，Q．

（1）求證：△ABP∽△PCN；

（2）不管點P運動到何處，在不添輔助線的情況下，除第（1）小題中的一對相似三角形外，請寫出圖中其它的所有相似三角形；

（3）當點P從BD的中點運動到DC的中點時，點N都隨著點P的運動而運動．在此過程中，試探究：能否求出點N運動的路徑長？若能，請求出這個長度；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）△ABD≌△ACD；△APN∽△ACP；△APN∽△QCN；△ACP∽△QCN ；（3）1.5．

【解析】

（1）根據等邊三角形性質得到∠ABP＝∠PCN＝60°，證明∠BAP＝∠CPN，根據相似三角形的判定定理證明結論；（2）因為△ABC是正三角形，AD是邊BC上的高線，由三線合一可證△ABD≌△ACD；因為∠APN=∠ACP=60°，∠PAN=∠CAP,所以△APN∽△ACP；因為∠APN=∠NCQ=60°，∠PNA=∠CNQ,所以△APN∽△QCN；因為△APN∽△ACP，△APN∽△QCN，所以△ACP∽△QCN ；（3）當點P在BD的中點運動到DC的中點時，利用相似三角形性質，設PB＝x，CN＝y，則3≤x≤9，由第（1）題利用相似三角形性質可得：，解得，又利用函數圖象可知：當x＝3或9時，y＝，當x＝6時，y最大＝3，所以點N運動的路徑長為：（3－）×2＝1.5．

解：（1）在正三角形ABC中，∠ABP＝∠PCN＝60°，

∴∠BAP +∠BPA＝120°，又∵∠APQ ＝60°，

∴∠CPN +∠BPA＝120°， ∴∠BAP＝∠CPN，

∴△ABP∽△PCN；

（2）△ABD≌△ACD；△APN∽△ACP；△APN∽△QCN；△ACP∽△QCN ；

理由：∵△ABC是正三角形，AD⊥BC，由三線合一可證△ABD≌△ACD；∵∠APN=∠ACP=60°，∠PAN=∠CAP，∴△APN∽△ACP；∵∠APN=∠NCQ=60°，∠PNA=∠CNQ,∴△APN∽△QCN；∵△APN∽△ACP，△APN∽△QCN，∴△ACP∽△QCN ；

（3）能，設PB＝x，CN＝y，由第（1）題可得：，

∴，又3≤x≤9，利用函數圖象可知：

當x＝3或9時，y＝，當x＝6時，y最大＝3；

∴點N運動的路徑長為：（3－）×2＝1.5．