Question

【題目】已知是的平分線，點是射線上一點，點C、D分別在射線、上，連接PC、PD．

（1）發現問題

如圖①，當，時，則PC與PD的數量關系是________．

（2）探究問題

如圖②，點C、D在射線OA、OB上滑動，且∠AOB=90°，∠OCP＋∠ODP=180°，當時，PC與PD在（1）中的數量關系還成立嗎？說明理由．

Answer 1

【答案】（1）PC=PD；（2）PC=PD仍然成立．理由見解析．

【解析】

（1）根據角平分線的性質可得出PC=PD；

（2）過P分別作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F，由角平分線的性質得PE=PF，然后根據同角的補角相等得出∠FCP=∠PDE，即可由AAS證明△CFP≌△DEP，從而得證．

解：（1）∵OM是∠AOB的平分線，PC⊥OA，PD⊥OB，

∴PC=PD，

故答案為：PC=PD；

（2）PC=PD仍然成立．理由如下：
過P分別作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F，

∴∠CFP=∠DEP=90°，
∵OM是∠AOB的平分線，∴PE=PF．

∵∠OCP＋∠ODP=180°，又∠ODP+∠PDE=180°，

∴∠OCP=∠PDE，即∠FCP=∠PDE，

在△CFP和△DEP中，

，

∴△CFP≌△DEP（AAS），
∴PC=PD．