Question

【題目】如圖，已知AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直徑，CD⊥AB，垂足為E，且點E是OD的中點，⊙O的切線BM與AO的延長線相交于點M，連接AC，CM．

（1）若AB=4，求的長；（結(jié)果保留π）
（2）求證：四邊形ABMC是菱形．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵OA=OB，E為AB的中點，

∴∠AOE=∠BOE，OE⊥AB，

∵OE⊥AB，E為OD中點，

∴OE=OD=OA，

∴在Rt△AOE中，∠OAB=30°，∠AOE=60°，∠AOB=120°，

設(shè)OA=x，則OE=x，AE=x，

∵AB=4，

∴AB=2AE=x=4，

解得：x=4，

則的長l==；

（2）

證明：由1得∠OAB=∠OBA=30°，∠BOM=∠COM=60°，∠AMB=30°，

∴∠BAM=∠BMA=30°，

∴AB=BM，

∵BM為圓O的切線，連接OB,如圖所示，

∴OB⊥BM，

在△COM和△BOM中，

，

∴△COM≌△BOM（SAS），

∴CM=BM，∠CMO=∠BMO=30°，

∴CM=AB，∠CMO=∠MAB，

∴CM∥AB，

∴四邊形ABMC為菱形．

【解析】（1）連接OB，由E為OD中點，得到OE等于OA的一半，在直角三角形AOE中，得出∠OAB=30°，進(jìn)而求出∠AOE與∠AOB的度數(shù)，設(shè)OA=x，利用勾股定理求出x的值，確定出圓的半徑，利用弧長公式即可求出的長；
（2）由第一問得到∠BAM=∠BMA，利用等角對等邊得到AB=MB，利用SAS得到三角形OCM與三角形OBM全等，利用全等三角形對應(yīng)邊相等得到CM=BM，等量代換得到CM=AB，再利用全等三角形對應(yīng)角相等及等量代換得到一對內(nèi)錯角相等，進(jìn)而確定出CM與AB平行，利用一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形得到ABMC為平行四邊形，最后由鄰邊相等的平行四邊形為菱形即可得證．
【考點精析】關(guān)于本題考查的菱形的判定方法和切線的性質(zhì)定理，需要了解任意一個四邊形，四邊相等成菱形；四邊形的對角線，垂直互分是菱形．已知平行四邊形，鄰邊相等叫菱形；兩對角線若垂直，順理成章為菱形；切線的性質(zhì)：1、經(jīng)過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經(jīng)過切點垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心3、圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑才能得出正確答案．