Question

【題目】如圖，拋物線y=交x軸于點A、B，交y軸于點C，點A的坐標是（-1，0），點C的坐標是（0，2）.

（1）求該拋物線的解析式。

（2）已知點P是拋物線上的一個動點，點N在x軸上。

①若點P在x軸上方，且△APN是等腰直角三角形，求點N的坐標；

②若點P在x軸下方，且△APN∽△BOC,請直接寫出點N的坐標。

Answer 1

【答案】（1）y=；

（2）①點N的坐標是（2，0）或（5，0）；

②N的坐標為（5，0）或（6.5，0）或（8，0）或（44，0）．

【解析】

試題分析：（1）把A、C兩點的坐標代入函數解析式，即可得到關于b，c的方程組，從而求得b，c的值，求得函數的解析式；

（2）①首先由點P、A、B都在拋物線上，且A、B在x軸上，得出點A不可能是直角頂點，那么當△APN是等腰直角三角形時，∠PAN=45°．作∠BAP=45°，AP交拋物線于點P，設點P坐標是（t，）．再分兩種情況進行討論：（Ⅰ）當點N是直角頂點時，過點P作⊥x軸于點，則=，依此列出方程=t+1，解方程求出N1的坐標；（Ⅱ）當點P是直角頂點時，過點P作⊥AP，交x軸于點，則AP=，那么= =2-（-1）=3，則=2+3=5，的坐標可求；②先由拋物線解析式求出B點坐標，根據△BOC是直角三角形，得出△ANP也是直角三角形，由A點不可能是直角頂點，得出直角頂點可能是P點或N點．設點P坐標是（t，），則t+2＜0．再分兩種情況進行討論：（Ⅰ）過A作BC的平行線，交拋物線于點P，則∠PAB=∠OBC．過P作⊥x軸于點N1，則∽△BOC，N1（t，0）．由∽△BOC，根據相似三角形對應邊成比例求出t的值，得出點N1的坐標；過點P作⊥AP，交x軸于點，則∽△BOC．由∽△，根據相似三角形對應邊成比例求出t的值，得出點的坐標；（Ⅱ）在x軸下方作∠BAP=∠OCB，交拋物線于點P，過P作⊥x軸于點，則∽△COB，（t，0）．由∽△COB，根據相似三角形對應邊成比例求出t的值，得出點的坐標；過點P作⊥AP，交x軸于點N4，則∽△COB．由∽，根據相似三角形對應邊成比例求出t的值，得出點N4的坐標.

試題解析：（1）∵拋物線y=過點A（-1，0），C（0，2），∴，解得，∴該拋物線的解析式是：y=；

（2）①∵點P、A、B都在拋物線上，且A、B在x軸上，∴點A不可能是直角頂點，則∠PAN=45°．如圖，作∠BAP=45°，AP交拋物線于點P．設點P坐標是（t，）．

（Ⅰ）過點P作⊥x軸于點，則=，即-=t+1，解得=2， =-1（不合題意舍去），所以的坐標是（2，0）；

（Ⅱ）當點P是直角頂點時，過點P作⊥AP，交x軸于點，則AP=，= =2-（-1）=3，則=2+3=5，所以的坐標是（5，0）；綜上所述，點N的坐標是（2，0）或（5，0）；

②∵y=，∴當y=0時，=0，解得x=-1或4，∵A（-1，0），∴B（4，0），∴△BOC中，OB=4，OC=2，∠BOC=90°．∵△BOC是直角三角形，∴當△ANP與△BOC相似時，△ANP也是直角三角形，∵A點不可能是直角頂點，∴直角頂點可能是P點或N點．設點P坐標是（t，），則＜0．

（Ⅰ）過A作BC的平行線，交拋物線于點P，則∠PAB=∠OBC．過P作⊥x軸于點，則∽△BOC，（t，0）．∵∽△BOC，∴=，∴===2，∴AN1=2N1P，即t+1=2（），解得=5，=-1（不合題意舍去），所以點P的坐標是（5，-3），點的坐標是（5，0）；過點P作⊥AP，交x軸于點，則∽△BOC．∵∽，∴，∴==1.5，∴==5+1.5=6.5，∴點的坐標是（6.5，0）；

（Ⅱ）在x軸下方作∠BAP=∠OCB，交拋物線于點P，過P作⊥x軸于點，則∽△COB，（t，0）．∵∽△COB，∴，∴=，∴，即=2（t+1），解得=8，=-1（不合題意舍去），所以點P的坐標是（8，-18），點的坐標是（8，0）；過點P作⊥AP，交x軸于點，則∽△COB．∵∽，∴，∴==36，∴=8+36=44，∴點的坐標是（44，0）；綜上所述，所求點N的坐標為（5，0），（6.5，0），（8，0），（44，0）．