Question

【題目】如圖，點A，B，C在一條直線上，△ABD，△BCE均為等邊三角形，連接AE和CD，AE分別交CD，BD于點M，P，CD交BE于點Q，連接PQ，下面結論： ①△ABE≌△DBC；②∠DMA=60°；③△BPQ為等邊三角形；④PQ∥AC．
其中結論正確的有（ ）

A.1個
B.2個
C.3個
D.4個

Answer 1

【答案】D
【解析】解：∵△ABD、△BCE為等邊三角形， ∴AB=DB，∠ABD=∠CBE=60°，BE=BC，
∴∠ABE=∠DBC，∠PBQ=60°，
在△ABE和△DBC中，
∵ ，
∴△ABE≌△DBC（SAS），
∴①正確；
∵△ABE≌△DBC，
∴∠BAE=∠BDC，
∵∠BDC+∠BCD=180°﹣60°﹣60°=60°，
∴∠DMA=∠BAE+∠BCD=∠BDC+∠BCD=60°，
∴②正確；
在△ABP和△DBQ中，
∵ ，
∴△ABP≌△DBQ（ASA），
∴BP=BQ，
∴△BPQ為等邊三角形，
∴③正確；
∵BP=BQ，∠PBQ=60°，
∴△BPQ是等邊三角形，
∴∠PQB=60°，
∴∠PQB=∠QBC，
∴PQ∥AC，
故④正確．
故選D．
①由等邊三角形的性質得出AB=DB，∠ABD=∠CBE=60°，BE=BC，得出∠ABE=∠DBC，由SAS即可證出△ABE≌△DBC；
②由△ABE≌△DBC，得出∠BAE=∠BDC，根據三角形外角的性質得出∠DMA=60°；
③由ASA證明△ABP≌△DBQ，得出對應邊相等BP=BQ，即可得出△BPQ為等邊三角形；
④推出△BPQ是等邊三角形，得到∠PBQ=60°，根據平行線的性質即可得到PQ∥AC，故④正確．