Question

【題目】△ABC中，∠A=60°，點D、E分別是△ABC邊AC、AB上的點(不與A、B、C重合)，點P是一動點，令∠PDC=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．

（1）若點P在邊BC上，如圖l，且∠α=50°，則∠1+∠2=　 　°．

（2）若點P在邊BC上運動，如圖2，試判斷∠α、∠1、∠2之間的關系，并證明．

（3）直接寫出：若點P運動到△ABC形外，如圖3，則∠α、∠l、∠2之間的關系為 ．

Answer 1

【答案】（1）110°；（2）猜想：∠1+∠2=60°+∠ 證明見解析；（3）∠2－∠1+∠=60°

【解析】試題分析：（1）連接PA，根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和可得∠1=∠PAD+∠APD，∠2=∠PAE+∠APE，再表示出∠1+∠2即可；（2）利用（1）中所求得出答案即可；（3）利用三角形內角和定理以及鄰補角的性質可得出．

試題解析：

(1)如圖，連接PC，

∵∠1=∠PAD+∠APD，∠2=∠PAE+∠APE，

∴∠1+∠2=∠PAD+∠APD+∠PAE+∠APE=∠DPE+∠A，

∵∠DPE=∠α=50°，∠A=60°，

∴∠1+∠2=50°+60°=110°

故答案為：110°；

(2)如圖：連接PA，

∵∠1=∠PAD+∠APD，∠2=∠PAE+∠APE

∴∠1+∠2=∠PAD+∠APD+∠PAE+∠APE=∠DPE+∠A，

∵∠A=60°，∠DPE=∠α，

∴∠1+∠2=60°+∠α；

故答案為：∠1+∠2=60°+∠α；

(3)如圖，

∵∠2=∠A+∠AOE，

∠1=∠α+∠POD；

∠AOE=∠POD

∴∠1∠2=∠A-∠α

即∠1∠2+∠α==60°