Question

【題目】如圖，點P（t，0）（t＞0）是x軸正半軸上的一點，是以原點為圓心，半徑為1的 圓，且A（﹣1，0），B（0，1），點M是 上的一個動點，連結PM，作直角△MPM1 ， 并使得∠MPM1=90°，∠PMM1=60°，我們稱點M1為點M的對應點．

（1）設點A和點B的對應點為A1和B1 ， 當t=1時，求A1的坐標；B1的坐標 ．
（2）當P是x軸正半軸上的任意一點時，點M從點A運動至點B，求M1的運動路徑長 ．

Answer 1

【答案】
（1）（1，2 ）；（1+ ， ）
（2）
【解析】解：（1）如圖1，

當t=1時，則AP=2，A1P⊥AP，
∵∠PAA1=60°，
∴PA1=2 ，
∴A1（1，2 ），
BP=OP= ，∠BPO=45°，
∴∠B1PC=∠PBO=90°﹣∠BPO=45°，PC=B1C，
∵∠B1BP=60°，
∴PB1= ，
∴PC=B1C= ，
∴B1（1+ ， ），
所以答案是；（1，2 ），（1+ ， ）；（2）當M在A點時，PM=1+t，PM1=（1+t） ，點M從點A運動至點B，設∠APB=n°，則PM1也旋轉n°，
∴M1的運動路徑長= ，
∵ 的長= = = ，
∴M1的運動路徑長= ．
所以答案是： ．