Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，點D，E分別在AC，BC上（點D與點A，C不重合），且∠DEC=∠A，將△DCE繞點D逆時針旋轉90°得到△DC′E′．當△DC′E′的斜邊、直角邊與AB分別相交于點P，Q（點P與點Q不重合）時，設CD=x，PQ=y．
（1）求證：∠ADP=∠DEC；
（2）求y關于x的函數解析式，并直接寫出自變量x的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖1中，

∵∠EDE′=∠C=90°，

∴∠ADP+∠CDE=90°，∠CDE+∠DEC=90°，

∴∠ADP=∠DEC．

（2）解：如圖1中，

當C′E′與AB相交于Q時，即 ＜x≤ 時，過P作MN∥DC′，設∠B=α

∴MN⊥AC，四邊形DC′MN是矩形，

∴PM=PQcosα= y，PN= × （3﹣x），

∴ （3﹣x）+ y=x，

∴y= x﹣ ，

當DC′交AB于Q時，即 ＜x＜3時，如圖2中，作PM⊥AC于M，PN⊥DQ于N，則四邊形PMDN是矩形，

∴PN=DM，

∵DM= （3﹣x），PN=PQsinα= y，

∴ （3﹣x）= y，

∴y=﹣ x+ ．

綜上所述，y=

【解析】（1）根據等角的余角相等即可證明；（2）分兩種情形①如圖1中，當C′E′與AB相交于Q時，即 ＜x≤ 時，過P作MN∥DC′，設∠B=α．②當DC′交AB于Q時，即 ＜x＜3時，如圖2中，作PM⊥AC于M，PN⊥DQ于N，則四邊形PMDN是矩形，分別求解即可；
【考點精析】本題主要考查了函數關系式和解直角三角形的相關知識點，需要掌握用來表示函數關系的數學式子叫做函數解析式或函數關系式；解直角三角形的依據：①邊的關系a2+b2=c2；②角的關系：A+B=90°；③邊角關系：三角函數的定義．(注意：盡量避免使用中間數據和除法)才能正確解答此題．