Question

【題目】如圖，已知點A是第一象限內橫坐標為2 的一個定點，AC⊥x軸于點M，交直線y=﹣x于點N．若點P是線段ON上的一個動點，∠APB=30°，BA⊥PA，則點P在線段ON上運動時，A點不變，B點隨之運動．求當點P從點O運動到點N時，點B運動的路徑長是 ．

Answer 1

【答案】2
【解析】解：由題意可知，OM=2 ，點N在直線y=﹣x上，AC⊥x軸于點M，則△OMN為等腰直角三角形，ON= OM= ×2 = ．
如答圖①所示，

設動點P在O點（起點）時，點B的位置為B0 ， 動點P在N點（終點）時，點B的位置為Bn ， 連接B0Bn
∵AO⊥AB0 ， AN⊥ABn ， ∴∠OAC=∠B0ABn ，
又∵AB0=AOtan30°，ABn=ANtan30°，∴AB0：AO=ABn：AN=tan30°（此處也可用30°角的Rt△三邊長的關系來求得），
∴△AB0Bn∽△AON，且相似比為tan30°，
∴B0Bn=ONtan30°= × =2 ．
現在來證明線段B0Bn就是點B運動的路徑（或軌跡）．
如答圖②所示，

當點P運動至ON上的任一點時，設其對應的點B為Bi ， 連接AP，ABi ， B0Bi
∵AO⊥AB0 ， AP⊥ABi ， ∴∠OAP=∠B0ABi ，
又∵AB0=AOtan30°，ABi=APtan30°，∴AB0：AO=ABi：AP，
∴△AB0Bi∽△AOP，∴∠AB0Bi=∠AOP．
又∵△AB0Bn∽△AON，∴∠AB0Bn=∠AOP，
∴∠AB0Bi=∠AB0Bn ，
∴點Bi在線段B0Bn上，即線段B0Bn就是點B運動的路徑（或軌跡）．
綜上所述，點B運動的路徑（或軌跡）是線段B0Bn ， 其長度為 ．
所以答案是： ．