Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，M、N分別是AD、BC的中點(diǎn)，P、Q分別是BM、DN的中點(diǎn)．
（1）求證：△MBA≌△NDC；
（2）求證：四邊形MPNQ是菱形．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠C=90°，

∵在矩形ABCD中，M、N分別是AD、BC的中點(diǎn)，

∴AM= AD，CN= BC，

∴AM=CN，

在△MAB和△NDC中，

∵ ，

∴△MBA≌△NDC（SAS）

（2）證明：四邊形MPNQ是菱形．

理由如下：連接AP，MN，

則四邊形ABNM是矩形，

∵AN和BM互相平分，

則A，P，N在同一條直線上，

易證：△ABN≌△BAM，

∴AN=BM，

∵△MAB≌△NDC，

∴BM=DN，

∵P、Q分別是BM、DN的中點(diǎn)，

∴PM=NQ，

∵ ，

∴△MQD≌△NPB（SAS）．

∴四邊形MPNQ是平行四邊形，

∵M(jìn)是AD中點(diǎn)，Q是DN中點(diǎn)，

∴MQ= AN，

∴MQ= BM，

∵M(jìn)P= BM，

∴MP=MQ，

∴平行四邊形MQNP是菱形．

【解析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)和中點(diǎn)的定義，利用SAS判定△MBA≌△NDC；（2）四邊形MPNQ是菱形，連接AN，有（1）可得到BM=DN，再有中點(diǎn)得到PM=NQ，再通過(guò)證明△MQD≌△NPB得到MQ=PN，從而證明四邊形MPNQ是平行四邊形，利用三角形中位線的性質(zhì)可得：MP=MQ，進(jìn)而證明四邊形MQNP是菱形
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解菱形的判定方法(任意一個(gè)四邊形，四邊相等成菱形；四邊形的對(duì)角線，垂直互分是菱形．已知平行四邊形，鄰邊相等叫菱形；兩對(duì)角線若垂直，順理成章為菱形)，還要掌握矩形的性質(zhì)(矩形的四個(gè)角都是直角，矩形的對(duì)角線相等)的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵．