Question

【題目】已知：如圖，在半徑為2的半圓O中，半徑OA垂直于直徑BC，點E與點F分別在弦AB、AC上滑動并保持AE=CF，但點F不與A、C重合，點E不與A、B重合．
（1）求四邊形AEOF的面積．
（2）設AE=x，S△OEF=y，寫出y與x之間的函數關系式，求x取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵BC為半圓O的直徑，OA為半徑，且OA⊥BC，

∴∠B=∠OAF=45°，OA=OB，

又∵AE=CF，AB=AC，

∴BE=AF，

∴△BOE≌△AOF

∴S四邊形AEOF=S△AOB= OBOA=2

（2）解：∵BC為半圓O的直徑，

∴∠BAC=90°，且AB=AC=2 ，

y=S△OEF=S四邊形AEOF﹣S△AEF=2﹣ AEAF=2﹣ x（2 ﹣x）

∴y= x2﹣ x+2（0＜x＜2 ）

【解析】（1）先根據BC為半圓O的直徑，OA為半徑，且OA⊥BC求出∠B=∠OAF=45°，再根據全等三角形的判定定理得出△BOE≌△AOF，再根據S四邊形AEOF=S△AOB即可得出答案；（2）先根據圓周角定理求出∠BAC=90°，再根據y=S△OEF=S四邊形AEOF﹣S△AEF即可得出答案．
【考點精析】本題主要考查了圓周角定理的相關知識點，需要掌握頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半才能正確解答此題．