Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx﹣1（a≠0）經過A（﹣1，0），B（2，0）兩點，與y軸交于點C．

（1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標；
（2）點P在拋物線的對稱軸上，當△ACP的周長最小時，求出點P的坐標；
（3）點N在拋物線上，點M在拋物線的對稱軸上，是否存在以點N為直角頂點的Rt△DNM與Rt△BOC相似？若存在，請求出所有符合條件的點N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=ax2+bx﹣1（a≠0）經過A（﹣1，0），B（2，0）兩點，

∴

∴ ，

∴拋物線解析式為y= x2﹣ x﹣1= （x﹣ ）2﹣ ，

∴拋物線的頂點坐標為（ ，﹣ ）

（2）

解：如圖1，

連接BC與拋物線對稱軸的交點就是點P，連接AC，AP，

∵點A，B關于拋物線對稱軸對稱，

∴PA=PB，

∵B（2，0），C（0，﹣1），

∴直線BC解析式為y= x﹣1，

∵點P在拋物線對稱軸上，

∴點P的橫坐標為 ，

∴點P的縱坐標為﹣ ，

∴P（ ，﹣ ）

（3）

解：如圖2，

過點作NF⊥DM，

∵B（2，0），C（0，﹣1），

∴OB=2，OC=1，

∴tan∠OBC= = ，tan∠OCB= =2，

設點N（m， m2﹣ m﹣1），

∴FN=|m﹣ |，FD=| m2﹣ m﹣1+ |=| m2﹣ m+ |，

∵Rt△DNM與Rt△BOC相似，

∴∠MDN=∠OBC，或∠MDN=∠OCB，

①當∠MDN=∠OBC時，

∴tan∠MDN= = ，

∴ =

∴m= （舍）或m= 或m=﹣ ，

∴N（ ， ）或（﹣ ， ），

②當∠MDN=∠OCB時，

∴tan∠MDN= =2，

∴ =2，

∴m= （舍）或m= 或m=﹣ ，

∴N（ ，﹣ ）或（﹣ ，﹣ ）；

∴符合條件的點N的坐標（ ， ）或（﹣ ， ）或（ ，﹣ ）或（﹣ ，﹣ ）

【解析】（1）利用待定系數法求出拋物線解析式；（2）確定出當△ACP的周長最小時，點P就是BC和對稱軸的交點，利用兩點間的距離公式計算即可？（3）作出輔助線，利用tan∠MDN=2或 ，建立關于點N的橫坐標的方程，求出即可．此題是二次函數綜合題，主要考查了待定系數法，拋物線的對稱性，三角函數，三角形周長的計算，絕對值方程，過點N作拋物線對稱軸的垂線是解本題的關鍵也是難點．
【考點精析】本題主要考查了二次函數圖象的平移和解直角三角形的相關知識點，需要掌握平移步驟：（1）配方 y=a(x-h)2+k，確定頂點（h,k）（2）對x軸左加右減；對y軸上加下減；解直角三角形的依據：①邊的關系a2+b2=c2；②角的關系：A+B=90°；③邊角關系：三角函數的定義．(注意：盡量避免使用中間數據和除法)才能正確解答此題．