Question

附加題：
（1）如圖，AB、CD是⊙O的兩條弦，它們相交于點P，連接AD、BD，已知AD=BD=4，PC=6，那么CD的長是

 

．

（2）閱讀材料：如圖，過△ABC的三個頂點分別作出與水平線垂直的三條直線，外側兩條直線之間的距離叫△ABC的“水平寬”（a），中間的這條直線在△ABC內部線段的長度叫△ABC的“鉛垂高（h）”．我們可得出一種計算三角形面積的新方法：S△ABC=

1

2

ah，即三角形面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半．

解答下列問題：
如圖，拋物線頂點坐標為點C（1，4），交x軸于點A（3，0），交y軸于點B．
①求拋物線和直線AB的解析式；
②點P是拋物線（在第一象限內）上的一個動點，連接PA，PB，當P點運動到頂點C時，求△CAB的鉛垂高CD及S_△CAB；
③點P是拋物線（在第一象限內）上的一個動點，是否存在一點P，使S_△PAB=

9

8

S_△CAB，若存在，求出P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）連接AD，AC，易證△ACD∽△PAD，根據相似三角形的對應邊的比相等即可求解；
（2）①已知拋物線的頂點和拋物線上的幾點，即可利用待定系數法求解析式；
②C點坐標為（1，4），根據三角形的面積公式即可求解；
③根據S_△PAB=

9

8

S_△CAB即可得到一個關于點P的橫坐標的方程，即可求出x的值．進而得到P點的坐標．

解答：解：（1）連接AC

∵AD=BD，
∴∠ACD=∠ABD=∠DAB
又∵∠ADP=∠CDA
∴△ACD∽△PAD
∴

CD

AD

=

AD

PD

∴設PD=x，則CD=x+6，

x+6

4

=

4

x

解得：x=-8或2
所以CD=6+2=8；

（2）解：①設拋物線的解析式為：y₁=a（x-1）²+4（1分）
把A（3，0）代入解析式求得a=-1
所以y₁=-（x-1）²+4=-x²+2x+3（2分）
設直線AB的解析式為：y₂=kx+b
求得B點的坐標為（0，3）（3分）
把A（3，0），B（0，3）代入y₂=kx+b中
解得：k=-1，b=3
所以y₂=-x+3（4分）
②因為C點坐標為（1，4）
所以當x=1時，y₁=4，y₂=2
所以CD=4-2=2（6分）S△CAB=

1

2

×3×2=3（7分）
③假設存在符合條件的點P，設點P的橫坐標是x，△PAB的鉛垂高為h，
則h=y₁-y₂=（-x²+2x+3）-（-x+3）=-x²+3x（8分）
由S_△PAB=

9

8

S_△CAB
得：

1

2

×3×(-x2+3x)=

9

8

×3，化簡得：4x²-12x+9=0
解得，x=

3

2

，
將x=

3

2

代入y₁=-x²+2x+3中，
解得P點坐標為(

3

2

，

15

4

)（10分）

點評：主要考查了二次函數的解析式的求法和與幾何圖形結合的綜合能力的培養．要會利用數形結合的思想把代數和幾何圖形結合起來，利用點的坐標的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關系．