Question

【題目】如圖，在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，點D為BC邊上一動點（不與點B重合），過D作射線DE交AB邊于E，使∠BDE=∠A，以D為圓心、DC的長為半徑作⊙D．

（1）設BD=x，AE=y，求y關于x的函數關系式，并寫出定義域．

（2）當⊙D與AB邊相切時，求BD的長．

（3）如果⊙E是以E為圓心，AE的長為半徑的圓，那么當BD的長為多少時，⊙D與⊙E相切？

Answer 1

【答案】(1) y=5-x（0＜x≤）；(2) ；(3) 或．

【解析】

試題分析：（1）通過相似三角形△BDE∽△BAC的對應邊成比例得到，把相關線段的長度代入并整理得到y=5-x（0＜x≤）；

（2）如圖，假設AB與⊙D相切于點F，連接FD．通過相似三角形△BFD∽△BGA的對應邊成比例得到．DF=6-BD，由勾股定理求得AG=4，BA=5，所以把相關線段的長度代入便可以求得BD的長度；

（3）分類討論：⊙D與⊙E相外切和內切兩種情況．由（1）的相似三角形推知BD=ED．所以如圖2，當⊙D與⊙E相外切時．AE+CD=DE=BD；如圖3，當⊙D與⊙E相內切時．CD-AE=DE=BD．

試題解析：（1）如圖，∵∠B=∠B，∠BDE=∠A，

∴△BDE∽△BAC，

∴，

∵AB=AC=5，BC=6，BD=x，AE=y，

∴，即y=5-x．

∵0＜x≤6，且0≤y≤5，

∴0＜x≤．

綜上所述，y關于x的函數關系式及其定義域為：y=5-x（0＜x≤）；

（2）如圖，假設AB與⊙D相切于點F，連接FD，則DF=DC，∠BFD=90°．

過點A作AG⊥BC于點G，則∠BGA=90°．

∴在△BFD和△BGA中，∠BFD=∠BGA=90°，∠B=∠B，

∴△BFD∽△BGA，

∴．

又∵AB=AC=5，BC=6，AG⊥BC

∴BG=，AG=，

∴，解得BD=；

（3）∵由（1）知，△BDE∽△BAC，

∴，即，

∴BD=DE．

如圖2，當⊙D與⊙E相外切時．

AE+CD=DE=BD，

∵由（1）知，BD=x，AE=y，y關于x的函數關系式是y=5-x，

∴5-x+6-x=x，

解得，x=，符合0＜x≤，

∴BD的長度為．

如圖3，當⊙D與⊙E相內切時．CD-AE=DE=BD，

∵由（1）知，BD=x，AE=y，y關于x的函數關系式是y=5-x，

∴6-x-5+x=x，

解得，x=，符合0＜x≤，

∴BD的長度為．

綜上所述，BD的長度是或．