Question

【題目】閱讀下面材料：

小明遇到這樣一個問題: 如圖1，在矩形中，對角線、相交于點，且，點、、分別是、、的中點，連接所、、．

求證：是等邊三角形．

小明經探究發現，連接、(如圖2)，從而可證， ，使問題得到解決．

（1）請你按照小明的探究思路，完成他的證明過程；

參考小明思考問題的方法或用其他的方法，解決下面的問題：

（2）如圖3，在四邊形中， ， ， 對角線、相交于點，且()，點、、分別是、、的中點，連接、、．

①否存在與相等的線段?若存在，請找出并證明；若不存在，說明理由．

②求的度數．(用含的式子表示)

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①，證明見解析；②．

【解析】

（1）如圖，連接、，由已知條件可證明是等邊三角形，進而證明是直角三角形，根據為AD的中點，證明，再由三角形中位線定理，即可證明結論；

（2）①如圖，，類比（1）即可證明結論；

②如圖，.根據①結論得到，再得到，進而證明，，最后求出，問題得解．

（1）證明：如圖，連接、，

∵四邊形為炬形，

∴，.

∵，

∴是等邊三角形.

∵點是的中點，

∴.

∴是直角三角形.

∵是的中點，

∴.

∵點、分別是、的中點，

∴.

∴，

∴是等邊三角形.

（2）①.

證明:如圖，連接、，

∵， ，

∴是等腰三角形

∵點是的中點，

∴.

∴是直角三角形、

∵是的中點，

∴.

同理可得.

∴.

②解:∵，，

∴，

.

∵，

∴同理可得.

∴.

由①可知，， ，

∴，

.

∴.

.

∴

.

∴

.