Question

【題目】在每個小正方形的邊長為1的網格中．點A，B，D均在格點上，點E、F分別為線段BC、DB上的動點，且BE=DF．

（1）如圖①，當BE=時，計算AE+AF的值等于 ；

（2）當AE+AF取得最小值時，請在如圖②所示的網格中，用無刻度的直尺，畫出線段AE，AF，并簡要說明點E和點F的位置如何找到的（不要求證明） ．

Answer 1

【答案】（1）；（2）取格點H，K，連接BH，CK，相交于點P，連接AP，與BC相交，得點E，取格點M，N連接DM，CN，相交于點G，連接AG，與BD相交，得點F，線段AE，AF即為所求．

【解析】

試題分析：（1）根據勾股定理可得：DB==5，因為BE=DF=，所以可得AF=BD=2.5，根據勾股定理可得：AE==，所以AE+AF==，故答案為：；

（2）如圖，

首先確定E點，要使AE+AF最小，根據三角形兩邊之和大于第三邊可知，需要將AF移到AE的延長線上，因此可以構造全等三角形，首先選擇格點H使∠HBC=∠ADB，其次需要構造長度BP使BP=AD=4，根據勾股定理可知BH==5，結合相似三角形選出格點K，根據，得BP=BH=×5=4=DA，易證△ADF≌△PBE，因此可得到PE=AF，線段AP即為所求的AE+AF的最小值；同理可確定F點，因為AB⊥BC，因此首先確定格點M使DM⊥DB，其次確定格點G使DG=AB=3，此時需要先確定格點N，同樣根據相似三角形性質得到，得DG=DM=×5=3，易證△DFG≌BEA，因此可得到AE=GF，故線段AG即為所求的AE+AF的最小值．

故答案為：取格點H，K，連接BH，CK，相交于點P，連接AP，與BC相交，得點E，取格點M，N連接DM，CN，相交于點G，連接AG，與BD相交，得點F，線段AE，AF即為所求．