Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，tanB=．半徑為2的⊙C， 分別交AC、BC于點D、E，得到 .

（1）求證：AB為⊙C的切線；

（2）求圖中陰影部分的面積.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）5-π

【解析】分析：（1）過點C作CF⊥AB于點F。根據三角函數的計算公式和勾股定理可得BC、AB的長，根據三角形的面積公式可求得CF的長，因為CF的長等于圓的半徑長，利用切線的判定即可證明。（2）根據三角形的面積公式、扇形的面積公式以及陰影部分的面積等于△ABC的面積與扇形DCE的面積之差，即可求得陰影部分的面積.

詳解：（1）證明：過C作CF⊥AB于F，

∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，tanB==，

∴BC=2，

由勾股定理得：AB==5，

∵△ACB的面積S==，

∴CF==2，

∴CF為⊙C的半徑，

∵CF⊥AB，

∴AB為⊙C的切線；

（2）解：圖中陰影部分的面積=S△ACB﹣S扇形DCE=××2﹣=5﹣π．