Question

【題目】如圖，已知AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，B為切點，OC平行于弦AD，連接CD。過點D作DE⊥AB于E，交AC于點P，求證：點P平分線段DE。

Answer 1

【答案】證明見解析.

【解析】試題分析：本題從切線的判定和性質出發，先判定△ODC≌△OBC，從平行線得到線段的比，從而證得．

試題解析：連結OD，OD∥AD，

∴∠1＝∠ADO，∠2＝∠DAO，

∵OA=OD，∴∠ADO=∠DAO，

∴∠1＝∠2，∵OD＝OB，OC＝OC，

∴△ODC≌△OBC，∴∠ODC＝∠OBC。

∵OB是⊙O的半徑，BC是⊙O的切線，

∴BC⊥OB

∴∠OBC＝900，∴∠ODC＝900，∴CD⊥OD。

∴CD是⊙O的切線。

過A作⊙O的切線AF，交CD的延長線于點F，則FA⊥AB。

∵DE⊥AB，CB⊥AB，∴FA∥DE∥CB,

∴。

在△FAC中，∵DP∥FA, ∴。

∵FA、FD是⊙O的切線，∴FA=FD，∴。

在△ABC中，∵EP∥BC, ∴。

∵CD、CB是⊙O的切線，∴CB=CD， ，

∴， ∴DP=EP，

∴點P平分線段DE。