Question

如圖，在正方形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，折疊正方形ABCD，使AD落在BD上，點A恰好與BD上的點F重合，展平后，折痕DE分別交AB，AC于點E，G，連接GF，下列結論：①AE=AG；②tan∠AGE=2；③S_△DOG=S_{四邊形EFOG}；④四邊形ABFG為等腰梯形；⑤BE=2OG，則其中正確的結論個數為（　　）

A．2

B．3

C．4

D．5

Answer 1

∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠DAC=∠ADB=∠ABD=45°，
由折疊的性質可得：∠ADE=∠FDE=

1

2

∠ADB=22.5°，
則∠AEG=90°-∠ADE=67.5°，∠AGE=∠ADE+∠DAC=22.5°+45°=67.5°，
∵∠AGE=∠AEG=67.5°，
∴AE=AG，即①正確；
設EF=x，則AE=x，BE=

2

EF=

2

x，AB=AE+BE=（

2

+1）x，
tan∠AGE=tan∠AEG=

AD

AE

=

AB

AE

=

2

+1．即②錯誤；
∵AB=（

2

+1）x，
∴AO=（1+

2

2

）x，OG=AO-AG=AO-AE=

2

2

x，
易得△DOG∽△DFE，
∵

S△DOG

S△DFE

=（

OG

EF

）²=

1

2

，
∴可得S_△DOG=S_{四邊形EFOG}，即③正確；
∵∠AGE=∠FGE（折疊的性質），∠AGE=∠AEG（①已證），
∴∠FGE=∠AEG，
∴GF∥AB，
又∵BF=EF（等腰直角三角形的性質）=AE=AG，
∴四邊形ABFG為等腰梯形，即④正確；
由上面的解答可得：AE=

2

x，OG=

2

2

x，
故可得BE=2OG，即⑤正確．
綜上可得：①③④⑤正確，共4個．
故選C．