Question

【題目】在平面直角坐標系中，對于任意一點P（x，y），我們做以下規定：d（P）=|x|+|y|，稱d（P）為點P的坐標距離．

（1）已知：點P（3，﹣4），求點P的坐標距離d（P）的值．

（2）如圖，四邊形OABC為正方形，且點A、B在第一象限，點C在第四象限．

①求證：d（A）=d（C）．

②若OC=2，且滿足d（A）+d（C）=d（B）+2，求點B坐標．

Answer 1

【答案】（1）7；（2）①見解析，②如圖1所示，B（1+，﹣1）．

【解析】

（1）根據d（P）=|x|+|y|，即可求得點P的坐標距離d（A）；
（2）①證明：如圖1，過點A作AE⊥y軸于E，作CF⊥y軸于F，則∠CFO=∠OEA=90°，設A（b，a），C（n，m），則|a|=OE，|b|=AE，|m|=OF，|n|=CF，根據相似三角形的性質得到=1，求得=1，于是得到=1，即可得到結論；
②如圖1所示，過點B作BG⊥CF，交FC的延長線于G，交x軸于H，則GF=OH，GH=OF，∠G=∠AEO=90°，根據余角的性質得到∠BCG=∠COF，根據全等三角形的性質得到OE=BG，AE=CG，由圖可得，d（A）=OE+AE，d（C）=OF+CF，d（B）=BH+OH=BH+GF，根據已知條件得到OE+AE+OF+CF=BH+GF+2，求得OF=1，解直角三角形得到CF=，由于=1，求得BG=，CG=1，于是得到結論．

（1）∵點P（3，﹣4），

∴點A的坐標距離d（P）=|3|+|﹣4|=3+4=7；

（2）①證明：如圖1,過點A作AE⊥y軸于E,作CF⊥y軸于F,

則∠CFO=∠OEA=90°，

設A(b,a),C(n,m)，則|a|=OE，|b|=AE，|m|=OF，|n|=CF，

∵在正方形ABCO中,∠AOC=90°，

∴∠AOE+∠COF=90°，

又∵∠AOE+∠EAO=90°，

∴∠COF=∠OAE，

∴△CFO∽△OEA，

∴=1，

∴=1,即=1，

即|a|+|b|=|m|+|n|，

∴d(A)=d(C)；

②如圖1所示,過點B作BG⊥CF,交FC的延長線于G,交x軸于H,

則GF=OH,GH=OF,∠G=∠AEO=90°，

∵∠BCO=90°=∠CFO，

∴∠BCG+∠FCO=∠COF+∠FCO=90°，

∴∠BCG=∠COF，

∵∠COF=∠OAE，

∴∠BCG=∠OAE，

∵四邊形ABCO是正方形，

∴CB=AO，

在△BCG和△OAE中,∠BCG=∠OAE；∠G=∠AEO；BC=AO，

∴△BCG≌△OAE(AAS)，

∴OE=BG，AE=CG，

由圖可得,d(A)=OE+AE,d(C)=OF+CF,d(B)=BH+OH=BH+GF，

∵d(A)+d(C)=d(B)+2，

∴OE+AE+OF+CF=BH+GF+2，

又∵BH=BGH=OEOF，GF=CG+CF=AE+CF，

∴OE+AE+OF+CF=(OEOF)+(AE+CF)+2，

∴即OF=2OF,

∴OF=1，

∵在Rt△COF中，CO=2，

∴CF=，

又∵=1，

∴,即OE=，AE=1，

∴BG=，CG=1，

∴FG=CG+CF=1+=OH,BH=BGOF=1，

∴B(1+,1).