Question

【題目】如圖，以正方形ABCD的對角線BD為邊作菱形BDEF，當點A，E，F在同一直線上時，∠F的正切值為___________．

Answer 1

【答案】

【解析】連接BD與AC相交于O，過點E作EG⊥BD于G，可得四邊形AOEG是矩形，可得GE=AO，再根據直角三角形30°所對的直角邊等于斜邊的一半，求出∠EDG=30°即可求出答案.

證明：連接AC交BD于O，過點E作EG⊥BD于G；

∵正方形ABCD
∴∠ACB=∠DBC=45°，AC=BD=2BO，∠BOC=90°，
∵菱形AEFC，∠F=∠DB，∠DEF=180°-∠F，
∴EF=BF，BD∥EF，
∴∠BAF=∠DBA=45°，
∴∠CAF=∠BAC+∠BAF＝90°，
∵EG⊥BD，
∴四邊形AOEG是矩形，
∴GE=AO，
∴DE=2GE，
∴∠EDG=30°，
∴∠F=30°

∴∠F的正切值為．

“點睛”本題考查了正方形的性質，矩形的判定與性質，菱形的性質，直角三角形30°所對的直角邊等于斜邊的一半的性質，作輔助線構造出矩形的和30°的直角三角形是解題的關鍵.