Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，我們不妨把橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)稱為夢(mèng)之點(diǎn)，例如，點(diǎn)（1，1），（﹣ 2，﹣ 2），（， ），…，都是夢(mèng)之點(diǎn)，顯然夢(mèng)之點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)．

（1）若點(diǎn) P（2，b）是反比例函數(shù) (n 為常數(shù)，n ≠ 0) 的圖象上的夢(mèng)之點(diǎn)，求這個(gè)反比例函數(shù)解析式；

（2）⊙ O 的半徑是 ，

①求出⊙ O 上的所有夢(mèng)之點(diǎn)的坐標(biāo)；

②已知點(diǎn) M（m，3），點(diǎn) Q 是（1）中反比例函數(shù) 圖象上異于點(diǎn) P 的夢(mèng)之點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q 的直線 l 與 y 軸交于點(diǎn) A，tan∠OAQ＝ 1．若在⊙ O 上存在一點(diǎn) N，使得直線 MN ∥ l或 MN ⊥ l，求出 m 的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）反比例函數(shù)解析式為；

（2）①⊙ O 上的所有夢(mèng)之點(diǎn)的坐標(biāo)為（1,1）或（-1,-1）；②m 的取值范圍是-5≤m≤-1或1≤m≤5.

【解析】試題分析：（1）由夢(mèng)之點(diǎn)坐標(biāo)特點(diǎn)可得b=2,再將P坐標(biāo)代入中，即可求得n的值；（2）①設(shè)⊙O上夢(mèng)之點(diǎn)坐標(biāo)是（a,a），由圓的半徑是得：

則a=1或a=-1，所以⊙O上所有夢(mèng)之點(diǎn)坐標(biāo)是（1,1）或（-1,-1）；② 由（1）可得，異于點(diǎn)P的夢(mèng)之點(diǎn)是（-2,-2），設(shè)直線MN為y=-x+b，求得m的取值范圍；當(dāng)直線MN為y=x+b時(shí)，求得m的取值范圍；

試題解析：

解：(1) ∵P（2,b）是夢(mèng)之點(diǎn)

∴b=2

∴P（2,2）

將P（2,2） 代入 中得n=4

∴反比例函數(shù)解析式是

(2) ①∵⊙O的半徑是

設(shè)⊙O上夢(mèng)之點(diǎn)坐標(biāo)是（a,a）

∴

∴

a=1或a=-1

∴⊙O上所有夢(mèng)之點(diǎn)坐標(biāo)是（1,1）或（-1,-1）

②由(1)知，異于點(diǎn)P的夢(mèng)之點(diǎn)是（-2,-2）

∵tan∠OAQ=1

∴∠OAQ==45°

由已知MN∥l或MN⊥l，如圖所示：

∴直線MN為y=-x+b或y=x+b

當(dāng)MN為y=-x+b時(shí)，m=b-3

由圖可知，當(dāng)直線MN平移至與⊙O相切時(shí)，

且切點(diǎn)在第四 象限時(shí)，b取得最小值，

此時(shí)MN 記為 ，

其中 為切點(diǎn)， 為直線與y軸的交點(diǎn)。

∵△O 為等要直角三角形，

∴O = ∴O=2

∴b的最小值是-2，

∴m的最小值是-5

當(dāng)直線MN平移至與⊙O相切時(shí)，且切點(diǎn)在第二象限時(shí)，

b取得最大值，此時(shí)MN 記為 ，

其中 為切點(diǎn)， 為直線與y軸的交點(diǎn)。

同理可得，b的最大值為2，m的最大值為-1.

∴m的取值范圍為-5≤m≤-1

當(dāng)直線MN為y=x+b時(shí)，

同理可得，m的取值范圍為1≤m≤5，

綜上所述，m的取值范圍為-5≤m≤-1或1≤m≤5.