Question

【題目】某校初二數(shù)學興趣小組活動時，碰到這樣一道題：

“已知正方形，點分別在邊上，若，則”．

經(jīng)過思考，大家給出了以下兩個方案：

（甲）過點作交于點，過點作交于點；

（乙）過點作交于點，作交的延長線于點；同學們順利地解決了該題后，大家琢磨著想改變問題的條件，作更多的探索．

（1）對小杰遇到的問題，請在甲、乙兩個方案中任選一個，加以證明（如圖1）；

圖1 圖2

（2）如果把條件中的“”改為“與的夾角為”，并假設正方形的邊長為l，的長為（如圖2），試求的長度．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）．

【解析】

（1）選乙，過點作交于點，作交的延長線于點，通過證△AMB≌△ADN來得出結論；

（2）按（1）的思路也要通過構建全等三角形來求解，可過點A作AM∥HF交BC于點M，過點A作AN∥EG交CD于點N，將△AND繞點A旋轉到△APB，不難得出△APM和△ANM全等，那么可得出PM＝MN，而MB的長可在直角三角形ABM中根據(jù)AB和AM（即HF的長）求出．如果設DN＝x，那么NM＝PM＝BM＋x，MC＝BCBM＝1BM，因此可在直角三角形MNC中用勾股定理求出DN的長，進而可在直角三角形AND中求出AN即EG的長．

（1）證明：過點作交于點，作交的延長線于點

∴，，

∵正方形

∴，，

∵

∴

∴

在和中，

∴

∴即.

（2）解：過點作交于點，過點作交于點，

∵，，

∴在中，，

將繞點旋轉到，

∵與的夾角為

∴

∴，即

從而

∴

設，則，，

在中，，

解得：

∴.