Question

【題目】在等邊△AOB中，將扇形COD按圖1擺放，使扇形的半徑OC、OD分別與OA、OB重合，OA=OB=2，OC=OD=1，固定等邊△AOB不動，讓扇形COD繞點O逆時針旋轉，線段AC、BD也隨之變化，設旋轉角為α．（0＜α≤360°）
（1）當OC∥AB時，旋轉角α=度；
（2）線段AC與BD有何數量關系，請僅就圖2給出證明．
（3）當A、C、D三點共線時，求BD的長．
（4）P是線段AB上任意一點，在扇形COD的旋轉過程中，請直接寫出線段PC的最大值與最小值．

Answer 1

【答案】
（1）60或240
（2）解：結論：AC=BD，理由如下：

如圖2中，

∵∠COD=∠AOB=60°，

∴∠COA=∠DOB，

在△AOC和△BOD中，

，

∴△AOC≌△BOD，

∴AC=BD

（3）解：①如圖3中，當A、C、D共線時，作OH⊥AC于H．

在Rt△COH中，∵OC=1，∠COH=30°，

∴CH=HD= ，OH= ，

在Rt△AOH中，

AH= = ，

∴BD=AC=CH+AH= ．

如圖4中，當A、C、D共線時，作OH⊥AC于H．

易知AC=BD=AH﹣CH= ，

綜上所述，當A、C、D三點共線時，BD的長為 或

（4）解：如圖5中，由題意，點C在以O為圓心，1為半徑的⊙O上運動，過點O作OH⊥AB于H，直線OH交⊙O于C′、C″，線段CB的長即為PC的最大值，線段C″H的長即為PC的最小值．易知PC的最大值=3，PC的最小值= ﹣1．

【解析】解：（1）如圖1中，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠AOB=∠COD=60°，
∴當點D在線段AD和線段AD的延長線上時，OC∥AB，
此時旋轉角α=60°或240°．
所以答案是60或240；