Question

【題目】已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，D為邊BC上一點，以AB，BD為鄰邊作平行四邊形ABDE，連接AD，EC．

（1）求證：△ADC≌△ECD；
（2）當點D在什么位置時，四邊形ADCE是矩形，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABDE為平行四邊形，
∴AB=DE，∠ABD=∠AED，AE∥BD，
∴∠AED=∠CDE，
又∵AB=AC，
∴∠ABD=∠ACD，AC=DE，
∴∠ACD=∠AED，
∴∠ACD=∠CDE，
在△ADC和△ECD中，
∵，
∴△ADC≌△ECD；

（2）解：當點D在BC中點時，四邊形ADCE是矩形；理由如下：
∵D為BC中點，
∴BD=CD，
又∵四邊形ABDE為平行四邊形，
∴AE∥BD，AE=BD，AB=DE，
∴AE∥CD，AE=CD，
∴四邊形ADCE為平行四邊形，
又∵AB=AC，
∴AC=DE，
∴平行四邊形ADCE為矩形.

【解析】（1）由平行四邊形的性質得出AB=DE，∠ABD=∠AED，AE∥BD，再由平行線的性質得出∠AED=∠CDE，又由等腰三角形的性質得出∠ABD=∠ACD，根據等量代換得出AC=DE，∠ACD=∠AED=∠CDE，再由全等三角形的判定SAS得證.
（2）當點D在BC中點時，四邊形ADCE是矩形；理由如下：由D為BC中點得出BD=CD；由平行四邊形的性質得出AE∥BD，AE=BD，AB=DE；由等量代換得出AE∥CD，AE=CD，根據平行四邊形的判定得出四邊形ADCE為平行四邊形，再由對角線相等的平行四邊形為矩形.
【考點精析】本題主要考查了等腰三角形的性質和平行四邊形的判定與性質的相關知識點，需要掌握等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）；若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積才能正確解答此題．