Question

【題目】如圖，平面直角坐標系中，四邊形OABC為矩形，點A，B的坐標分別為（4，0），（4，3），動點M，N分別從O，B同時出發．以每秒1個單位的速度運動．其中，點M沿OA向終點A運動，點N沿BC向終點C運動．過點M作MP⊥OA，交AC于P，連接NP，已知動點運動了x秒．

（1）求P點的坐標（用含x的代數式表示）；

（2）試求△NPC面積S的表達式，并求出面積S的最大值及相應的x值；

（3）設四邊形OMPC的面積為S1，四邊形ABNP的面積為S2，請你就x的取值范圍討論S1與S2的大小關系并說明理由；

（4）當x為何值時，△NPC是一個等腰三角形？

Answer 1

【答案】（1）點P坐標為(x,)；（2）S的最大值為，此時x=2；（3）當0＜x＜2時，S1＜S2；當x=2時，S1=S2；當2＜x＜4時，S1＞S2；（4）x=，或x=，或x=．

【解析】

（1）首先根據題意得到C、M、N三點的坐標值．根據三角形中三角函數的關系，進而得到P點的坐標值．

（2）設△NPC的面積為S．在△NPC，根據（1）可知CN的長關于x的表達式，NC邊上的高關于x的表達式．再利用三角形面積的計算公式求得，S關于x二次函數表達式．在x的取值范圍內求該二次函數的最大值．

（3）根據梯形的面積計算公式寫出S1關于x的表達式，根據S2=S△ABC-S△PCN寫出關于x的關系式．再就0＜x＜4的取值，討論S1與S2的大小關系．

（4）首先延長MP交CB于Q，則有PQ⊥BC．再分解就①若NP=CP；②若CP=CN；③若CN=NP三種情況討論x的取值．

（1）由題意可知，C（0，3），M（x，0），N（4-x，3），

∴點P坐標為(x，3x)；

（2）設△NPC的面積為S，

在△NPC中，NC=4-x，NC邊上的高為x，其中，0≤x≤4，

∴S=（4-x）×x=-（x-2）2+，

∴S的最大值為，此時x=2；

（3）由圖形知，S1= (OC+MP)OM＝ (3+3x)x

S2=S△ABC-S△PCN=×4×3 (4x)×x；

當0＜x＜2時，S1＜S2；當x=2時，S1=S2；當2＜x＜4時，S1＞S2；

（4）延長MP交CB于Q，則有PQ⊥BC．

①若NP=CP，∵PQ⊥BC，∴NQ=CQ=x．∴3x=4，∴x=．

②若CP=CN，則，CN=4-x，PQ=x，CP=x，4-x=x，∴x=．

③若CN=NP，則CN=4-x．∵PQ=x，NQ=4-2x，在Rt△PNQ中，PN2=NQ2+PQ2

∴（4-x）2=（4-2x）2+（x）2，∴x=．

綜上所述，x=，或x=，或x=．