Question

【題目】如圖，在矩形中， ， 的平分線交邊于點， 于點，連接并延長交邊于點，連接交于點.給出下列命題：①；②；③；④.其中正確命題為（　　）

A. ①② B. ①③

C. ①③④ D. ①②③④

Answer 1

【答案】B

【解析】在矩形ABCD中, ，

∵DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠CDE=45°，

∵AD⊥DE，∴△ADH是等腰直角三角形， ，∴AH=AB=CD.

∵△DEC是等腰直角三角形， ，∴AD=DE，∴∠AED=67.5°，

∴∠AEB=180°45°67.5°=67.5°，∴∠AED=∠AEB.

故①正確；

設DH=1，

則AH=DH=1, ， , ,故②錯誤；

∵∠AEH=67.5°，∴∠EAH=22.5°.

∵DH=CD,∠EDC=45°，∴∠DHC=67.5°，∴∠OHA=22.5°，

∴∠OAH=∠OHA，∴OA=OH，∴∠AEH=∠OHE=67.5°，∴OH=OE，

，故③正確；

∵AH=DH，CD=CE，

在△AFH與△CHE中，

∵∠AHF=∠HCE=22.5°,∠FAH=∠HEC=45°,AH=CE，∴△AFH≌△CHE，∴AF=EH.

在△ABE與△AHE中，

∵AB=AH,∠BEA=∠HEA,AE=AE，∴△ABE≌△AHE，∴BE=EH，

∴BCBF=(BE+CE)(ABAF)=(CD+EH)(CDEH)=2EH，

故④錯誤，

所以①，③正確，故選B