Question

【題目】在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是對角線AC上任意一點，F是線段BC延長線上一點，且CF=AE，連接BE、EF．

（1）如圖1，當E是線段AC的中點時，求證：BE=EF．

（2）如圖2，當點E不是線段AC的中點，其它條件不變時，請你判斷（1）中的結論： ．（填“成立”或“不成立”）

（3）如圖3，當點E是線段AC延長線上的任意一點，其它條件不變時，（1）中的結論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）成立；（3）成立.證明見解析.

【解析】

試題分析：（1）由菱形的性質和已知條件得出△ABC是等邊三角形，得出∠BCA=60°，由等邊三角形的性質和已知條件得出CE=CF，由等腰三角形的性質和三角形的外角性質得出∠CBE=∠F，即可得出結論；

（2）過點E作EG∥BC交AB延長線于點G，先證明△ABC是等邊三角形，得出AB=AC，∠ACB=60°，再證明△AGE是等邊三角形，得出AG=AE=GE，∠AGE=60°，然后證明

△BGE≌△ECF，即可得出結論；

（3）過點E作EG∥BC交AB延長線于點G，證明同（2）．

試題解析：（1）∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB=BC，

∵∠ABC=60°，

∴△ABC是等邊三角形，

∴∠BCA=60°，

∵E是線段AC的中點，

∴∠CBE=∠ABE=30°，AE=CE，

∵CF=AE，

∴CE=CF，

∴∠F=∠CEF=∠BCA=30°，

∴∠CBE=∠F=30°，

∴BE=EF；

（2）結論成立；理由如下：

過點E作EG∥BC交AB于點G，如圖2所示：

∵四邊形ABCD為菱形，

∴AB=BC，∠BCD=120°，AB∥CD，

∴∠ACD=60°，∠DCF=∠ABC=60°，

∴∠ECF=120°，

又∵∠ABC=60°，

∴△ABC是等邊三角形，

∴AB=AC，∠ACB=60°，

又∵EG∥BC，

∴∠AGE=∠ABC=60°，

又∵∠BAC=60°，

∴△AGE是等邊三角形，

∴AG=AE=GE，∠AGE=60°，

∴BG=CE，∠BGE=120°=∠ECF，

又∵CF=AE，

∴GE=CF，

在△BGE和△CEF中，

，

∴△BGE≌△ECF（SAS），

∴BE=EF．

（3）結論成立．證明如下：

過點E作EG∥BC交AB延長線于點G，如圖3所示：

∵四邊形ABCD為菱形，

∴AB=BC，

又∵∠ABC=60°，

∴△ABC是等邊三角形，

∴AB=AC，∠ACB=60°，

∴∠ECF=60°，

又∵EG∥BC，

∴∠AGE=∠ABC=60°，

又∵∠BAC=60°，

∴△AGE是等邊三角形，

∴AG=AE=GE，∠AGE=60°，

∴BG=CE，∠AGE=∠ECF，

又∵CF=AE，

∴GE=CF，

在△BGE和△CEF中，

，

∴△BGE≌△ECF（SAS），

∴BE=EF．