Question

某公司投資700萬元購甲、乙兩種產品的生產技術和設備后，進行這兩種產品加工．已知生產甲種產品每件還需成本費30元，生產乙種產品每件還需成本費20元．經市場調研發現：甲種產品的銷售單價為x（元），年銷售量為y（萬件），當35≤x＜50時，y與x之間的函數關系式為y=20﹣0.2x；當50≤x≤70時，y與x的函數關系式如圖所示，乙種產品的銷售單價，在25元（含）到45元（含）之間，且年銷售量穩定在10萬件．物價部門規定這兩種產品的銷售單價之和為90元．

（1）當50≤x≤70時，求出甲種產品的年銷售量y（萬元）與x（元）之間的函數關系式．
（2）若公司第一年的年銷售量利潤（年銷售利潤=年銷售收入﹣生產成本）為W（萬元），那么怎樣定價，可使第一年的年銷售利潤最大？最大年銷售利潤是多少？
（3）第二年公司可重新對產品進行定價，在（2）的條件下，并要求甲種產品的銷售單價x（元）在50≤x≤70范圍內，該公司希望到第二年年底，兩年的總盈利（總盈利=兩年的年銷售利潤之和﹣投資成本）不低于85萬元．請直接寫出第二年乙種產品的銷售單價m（元）的范圍．

Answer 1

（1）（50≤x≤70）。
（2）甲、乙兩種產品定價均為45元時，第一年的年銷售利潤最大，最大年銷售利潤是415萬元。
（3）30≤m≤40。

分析：（1）設y與x的函數關系式為y=kx+b（k≠0），然后把點（50，10），（70，8）代入求出k、b的值即可得解。
（2）先根據兩種產品的銷售單價之和為90元，根據乙種產品的定價范圍列出不等式組求出x的取值范圍是45≤x≤65，然后分45≤＜50，50≤x≤70兩種情況，根據銷售利潤等于兩種產品的利潤之和列出W與x的函數關系式，再利用二次函數的增減性確定出最大值，從而得解。
（3）用第一年的最大利潤加上第二年的利潤，然后根據總盈利不低于85萬元列出不等式，整理后求解即可：
根據題意得，，
由W=85，則，解得x₁=20，x₂=60．
又由題意知，50≤x≤70，根據函數性質分析，50≤x≤60，即50≤90－m≤60，∴30≤m≤40。　
解：（1）設y與x的函數關系式為y=kx+b（k≠0），
∵函數圖象經過點（50，10），（70，8），
∴，解得。
∴甲種產品的年銷售量y（萬元）與x（元）之間的函數關系式為（50≤x≤70）。
（2）∵乙種產品的銷售單價在25元（含）到45元（含）之間，
∴，之得45≤x≤65。
①當45≤x＜50時，
，
∵﹣0.2＜0，∴x＞40時，W隨x的增大而減小。
∴當x=45時，W有最大值，（萬元）。
②50≤x≤70時，
，
∵﹣0.1＜0，∴x＞40時，W隨x的增大而減小。
當x=50時，W有最大值，（萬元）。
綜上所述，當x=45，即甲、乙兩種產品定價均為45元時，第一年的年銷售利潤最大，最大年銷售利潤是415萬元。
（3）30≤m≤40。