Question

【題目】閱讀下列材料：

問題：如圖1，在平行四邊形ABCD中，E是AD上一點(diǎn)，AE=AB，∠EAB=60°，過點(diǎn)E作直線EF，在EF上取一點(diǎn)G，使得∠EGB=∠EAB，連接AG.

求證：EG =AG+BG.

小明同學(xué)的思路是：作∠GAH=∠EAB交GE于點(diǎn)H，構(gòu)造全等三角形，經(jīng)過推理解決問題.

參考小明同學(xué)的思路，探究并解決下列問題：

（1）完成上面問題中的證明；

（2）如果將原問題中的“∠EAB=60°”改為“∠EAB=90°”，原問題中的其它條件不變（如圖2），請?zhí)骄烤�段EG、AG、BG之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）EG+BG =AG，證明見解析.

【解析】試題（1）作∠GAH=∠EAB交GE于點(diǎn)H，則∠GAB=∠HAE，先根據(jù)ASA定理得出△ABG≌△AEH，由∠GAH=∠EAB=60°可知△AGH是等邊三角形，故可得出結(jié)論；

（2）作∠GAH=∠EAB交GE的延長線于點(diǎn)H，先根據(jù)ASA定理得出△ABG≌△AEH，故可得出BG=EH，AG=AH，根據(jù)∠GAH=∠EAB=90°可知△AGH是等腰直角三角形，所以AG=HG，由此可得出結(jié)論．

試題解析：（1）如圖1，作∠GAH=∠EAB交GE于點(diǎn)H，則∠GAB=∠HAE．

∵∠EAB=∠EGB，∠GAB=∠HAE，

∴∠ABG=∠AEH．

∵又∵AB=AE，

∴△ABG≌△AEH（ASA）．

∴BG=EH，AG=AH．

∵∠GAH=∠EAB=60°，

∴△AGH是等邊三角形．

∴AG=HG．

∴EG=AG+BG；

（2）線段EG、AG、BG之間的數(shù)量關(guān)系是EG=AG﹣BG．

理由如下：

如圖2，作∠GAH=∠EAB交GE的延長線于點(diǎn)H，則∠GAB=∠HAE．

∵∠EGB=∠EAB=90°，

∴∠ABG+∠AEG=∠AEG+∠AEH=180°．

∴∠ABG=∠AEH．

又∵AB=AE，

∴△ABG≌△AEH（ASA）．

∴BG=EH，AG=AH．

∵∠GAH=∠EAB=90°，

∴△AGH是等腰直角三角形．

∴AG=HG，

∴EG=AG﹣BG．