Question

【題目】如圖，已知點A、C分別在∠GBE的邊BG、BE上，且AB=AC，AD∥BE，∠GBE的平分線與AD交于點D，連接CD．

（1）求證：AB=AD；

（2）求證：CD平分∠ACE．

（3）猜想∠BDC與∠BAC之間有何數量關系？并對你的猜想加以證明．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）∠BDC=∠BAC，證明見解析

【解析】

（1）根據平行線的性質得到∠ADB=∠DBC，由角平分線的定義得到∠ABD=∠DBC，等量代換得到∠ABD=∠ADB，根據等腰三角形的判定即可得到AB=AD；（2）根據平行線的性質得到∠ADC=∠DCE，由①知AB=AD，等量代換得到AC=AD，根據等腰三角形的性質得到∠ACD=∠ADC，求得∠ACD=∠DCE，即可得到結論；
（3）根據角平分線的定義得到∠DBC=∠ABC，∠DCE=∠ACE，由于∠BDC+∠DBC=∠DCE于是得到∠BDC+∠ABC=∠ACE，由∠BAC+∠ABC=∠ACE，于是得到∠BDC+∠ABC=∠ABC+∠BAC，即可得到結論．

證明：

（1） AD∥BE

∠2= ∠5

AD平分∠GBE

∠2= ∠1

∠1= ∠5 , AB= AD

（2） AB= AD AB= ACAC= AD

∠3= ∠ADC

又AD∥BE ∠ADC= ∠4

∠3= ∠4

CD平分∠ACE

（3）∠BDC= ∠BAC

證明：BD平分∠ABE

∴∠2= ∠1 = ∠ABC

根據三角形外角性質得：

∠1+ ∠2+ ∠BAC=∠4 +∠3①

①式兩邊除以2得∠BAC=∠4-∠2

而由∠2+ ∠6 =∠4 得出∠6 =∠4 -∠2 即∠BDC=∠4 -∠2

∠BDC=∠BAC