Question

在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，點D為邊BC的中點，DE⊥BC交邊AC于點E，點P為射線AB上一動點，點Q為邊AC上一動點，且∠PDQ=90°．

（1）求ED、EC的長；
（2）若BP=2，求CQ的長；
（3）記線段PQ與線段DE的交點為點F，若△PDF為等腰三角形，求BP的長．

Answer 1

（1），；（2）CQ或CQ；（3）或

試題分析：（1）先根據勾股定理求得BC的長，再結合點D為BC的中點可得CD的長，然后證得△ABC∽△DEC，根據相似三角形的性質即可求得結果；
（2）分①當點P在AB邊上時，②當點P在AB的延長線上時，根據相似三角形的性質求解即可；
（3）由△BPD∽△EQD可得，若設BP="x" ，則，，可得，即得∠QPD=∠C，又可證∠PDE=∠CDQ，則可得△PDF∽△CDQ，再分①當CQ=CD時，②當QC=QD時，③當DC=DQ時，三種情況，根據等腰三角形的性質求解即可.
（1）在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8 
∴BC=10
點D為BC的中點  
∴CD=5
可證△ABC∽△DEC
∴， 即
∴，；
（2）①當點P在AB邊上時，在Rt△ABC中，∠B+∠C=90°，
在Rt△EDC中，∠DEC+∠C=90°， 
∴∠DEC=∠B
∵DE⊥BC，∠PDQ=90° 
∴∠PDQ=∠BDE=90° 
∴∠BDP=∠EDQ
∴△BPD∽△EQD
∴，即，
∴
∴CQ=EC-EQ；
②當點P在AB的延長線上時，同理可得：，
∴CQ=EC+EQ；
（3）∵線段PQ與線段DE的交點為點F，
∴點P在邊AB上
∵△BPD∽△EQD   
∴
若設BP="x" ，則，，可得   
∴∠QPD=∠C
又可證∠PDE="∠CDQ"
∴△PDF∽△CDQ
∵△PDF為等腰三角形
∴△CDQ為等腰三角形
①當CQ=CD時，可得，解得
②當QC=QD時， 過點Q作QM⊥CB于M，
∴，
∴，解得
③當DC=DQ時，過點D作DN⊥CQ于N，
∴，
∴，解得(不合題意，舍去)
∴綜上所述，或.
點評：此類問題綜合性強，難度較大，在中考中比較常見，一般作為壓軸題，題目比較典型．