Question

【題目】如下圖1,在四邊形ABCD中，點E、F分別是AB、CD的中點.過點E作AB的垂線,過點F作CD的垂線,兩垂線交于點G,連結GA、GB、GC、GD、EF,若∠AGD=∠BGC.

（1）求證:AD=BC；

（2）求證:△AGD∽△EGF；

（3）如圖2,若AD、BC所在直線互相垂直,求的值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）.

【解析】

試題分析：本題是相似形綜合題目，考查了線段垂直平分線的性質、全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質、三角函數等知識；本題難度較大，綜合性強，特別是（3）中，需要通過作輔助線綜合運用（1）（2）的結論和三角函數才能得出結果.

（2）先證出∠AGB=∠DGC，由=，證出△AGB∽△DGC，得出比例式=，再證出∠AGD=∠EGF，即可得出△AGD∽△EGF；

（3）延長AD交GB于點M，交BC的延長線于點H，則AH⊥BH，由△AGD≌△BGC，得出∠GAD=∠GBC，再求出∠AGE=∠AHB=90°，得出∠AGE=∠AGB=45°，求出=，由△AGD∽△EGF，即可得出的值即可.

試題解析：（1）∵GE是AB的垂直平分線，

∴GA=GB，

同理：GD=GC，

在△AGD和△BGC中，

，

∴△AGD≌△BGC（SAS），

∴AD=BC；

（2）∵∠AGD=∠BGC，

∴∠AGB=∠DGC，

在△AGB和△DGC中，=，

∴△AGB∽△DGC，

∴=，

又∵∠AGE=∠DGF，

∴∠AGD=∠EGF，

∴△AGD∽△EGF；

（3）延長AD交GB于點M，交BC的延長線于點H，如圖所示，則AH⊥BH，

∵△AGD≌△BGC，

∴∠GAD=∠GBC，

在△GAM和△HBM中，∠GAD=∠GBC，∠GMA=∠HMB，

∴∠AGB=∠AHB=90°，

∴∠AGE=∠AGB=45°，

∴=，

又∵△AGD∽△EGF，

∴==.