Question

【題目】定義：對角線互相垂直且相等的四邊形叫做垂等四邊形．

（1）下面四邊形是垂等四邊形的是____________（填序號）

①平行四邊形；②矩形；③菱形；④正方形

（2）圖形判定：如圖1，在四邊形中，∥，，過點D作BD垂線交BC的延長線于點E，且，證明：四邊形是垂等四邊形．

（3）由菱形面積公式易知性質：垂等四邊形的面積等于兩條對角線乘積的一半．應用：在圖2中，面積為24的垂等四邊形內接于⊙O中，．求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）④；（2）證明過程見解析；③4

【解析】

（1）根據垂等四邊形的性質對每個圖形判斷即可；

（2）根據已知條件可證明四邊形ACED是平行四邊形，即可得到AC=DE，再根據等腰直角三角形的性質即可得到結果；

（3）過點O作，根據面積公式可求得BD的長，根據垂徑定理即可得到答案．

（1）①平行四邊形的對角線互相平分但不垂直和相等，故不是；②矩形對角線相等但不垂直；③菱形的對角線互相垂直但不相等；④正方形的對角線互相垂直且相等，故正方形是垂等四邊形；

（2）∵，，

∴AC∥DE，

又∵∥，

∴四邊形ADEC是平行四邊形，

∴AC=DE，

又∵，

∴△BDE是等腰直角三角形，

∴BD=DE，

∴BD=AC，

∴四邊形是垂等四邊形．

（3）如圖，過點O作，

∵四邊形是垂等四邊形，

∴AC=BD，

又∵垂等四邊形的面積是24，,根據垂等四邊形的面積計算方法得：

，

又∵，

∴，

設半徑為r，根據垂徑定理可得：

在△ODE中，OD=r，DE=，

∴，

∴的半徑為4．