Question

【題目】如圖1，已知拋物線y=ax2﹣2ax﹣3與x軸交于A、B兩點，其頂點為C，過點A的直線交拋物線于另一點D（2，﹣3），且tan∠BAD=1．

（1）求拋物線的解析式；

（2）連結CD，求證：AD⊥CD；

（3）如圖2，P是線段AD上的動點，過點P作y軸的平行線交拋物線于點E，求線段PE長度的最大值；

（4）點Q是拋物線上的動點，在x軸上是否存在點F，使以A，D，F，Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出點F的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）證明見解析；（3）；（4）存在；（﹣3，0）或（4+，0）或（4﹣，0）或（1，0）.

【解析】

（1）過點D作DM⊥x軸于M，根據點D的坐標求出DM、OM，再根據∠BAD的正切值求出AM，然后求出AO，從而得到點A的坐標，再代入拋物線表達式求出a，從而得解；

（2）根據拋物線解析式求出頂點C的坐標，再利用勾股定理列式求出AC、CD、AD，然后利用勾股定理逆定理證明即可；

（3）利用待定系數法求出直線AD的解析式，再表示出PE，然后根據二次函數的最值問題求解即可；

（4）設點F的坐標為（x，0），然后分①AD是平行四邊形的邊且FQ在x軸下方時，表示出點Q的坐標，然后代入拋物線解析式求解即可；FQ在x軸上方時，表示出點Q的坐標，再代入拋物線解析式求解；②AD是平行四邊形對角線時，根據平行四邊形對邊平行可得DQ∥x軸，然后根據點D的縱坐標求出點Q的坐標，再根據AF=DQ求出點F的坐標即可．

（1）如圖，過點D作DM⊥x軸于M，

∵D（2，﹣3），

∴DM=3，OM=2，

∵tan∠BAD=1，

∴AM=DM=3，

∴AO=AM﹣OM=3﹣2=1，

∴點A的坐標為（﹣1，0），

將點A的坐標代入拋物線得，a+2a﹣3=0，

解得a=1，

所以，y=x2﹣2x﹣3；

（2）證明：∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，

∴頂點C（1，﹣4），

由勾股定理得，AD2=32+32=18，

CD2=（2﹣1）2+（﹣3+4）2=2，

AC2=（1+1）2+42=20，

∵AD2+CD2=AC2=20，

∴△ACD是直角三角形，且∠ADC=90°，

∴AD⊥CD；

（3）設直線AD的解析式為y=kx+b（k≠0），

將點A、D的坐標代入得，，

解得，

所以，直線AD的解析式為y=﹣x﹣1，

所以，PE=（﹣x﹣1）﹣（x2﹣2x﹣3）=﹣x2+x+2=﹣（x﹣）2+，

∵P是線段AD上的動點，

∴﹣1≤x≤2，

∴當x=時，線段PE長度的最大值是；

（4）設點F的坐標為（x，0），

①AD是平行四邊形的邊且FQ在x軸下方時，點Q的坐標為（x+3，﹣3），

代入拋物線得，（x+3）2﹣2（x+3）﹣3=﹣3，

解得x1=﹣3，x2=﹣1（舍去），

所以，F（﹣3，0）；

FQ在x軸上方時，點Q的坐標為（x﹣3，3），

代入拋物線得，（x﹣3）2﹣2（x﹣3）﹣3=3，

整理得，x2﹣8x+9=0，

解得，x=4±，

所以，F（4+，0）或（4﹣，0）；

②AD是平行四邊形對角線時，∵A、F都在x軸上，

∴DQ∥x軸，

∴點Q的縱坐標為﹣3，

∴x2﹣2x﹣3=﹣3，

解得x1=2，x2=0，

∴DQ=2，

∴AF=2，

∵AO=1，

∴OF=2﹣1=1，

∴F（1，0），

綜上所述，x軸上存在點F（﹣3，0）或（4+，0）或（4﹣，0）或（1，0），使以A，D，F，Q為頂點的四邊形是平行四邊形．