Question

【題目】綜合與探究

如圖，拋物線與軸交于，兩點（點在點的左側），與軸交于點，其對稱軸與拋物線交于點，與軸交于點．

（1）求點，，的坐標；

（2）點為拋物線對稱軸上的一個動點，從點出發，沿射線以每秒2個單位長度的速度運動，過點作軸的平行線交拋物線于，兩點（點在點的左邊）.設點的運動時間為．

①當為何值時，以點，，，為頂點的四邊形是平行四邊形；

②連接，在點運動的過程中，是否存在點，使得，若存在，求出點的坐標：若不存在，請說明理由；

③點在軸上，點為坐標平面內一點，以線段為對角線作菱形，當時，請直接寫出的值．

Answer 1

【答案】（1），，；（2）①當時，以，，，為頂點的四邊形是平行四邊形；②點從的坐標為或；③或．

【解析】

（1）利用二次函數圖象上點的坐標特征可求出點A，B的坐標，利用配方法可求出拋物線頂點D的坐標；

（2）①由MN∥AB可得出當MN=AE時四邊形MNEA為平行四邊形，由點A，E的坐標結合二次函數的對稱性可得出點M的橫坐標，利用二次函數圖象上點的坐標特征可得出點M的坐標，結合點G的運動方向及速度，即可求出t值；

②過點M作MH⊥x軸，垂足為點H，設點M的坐標為（m，-m2+2m+6）（m＜2），則BH=6-m，MH=|-m2+2m+6|，由∠MBA=∠EDB結合正切的定義，可得出關于m的方程，解之即可得出m的值，將其代入點M的坐標即可得出結論；

③設點M的坐標為（n，-n2+2n+6）（n＜2）時PQ=MN，結合題意可得出關于n的方程，解之即可得出n的值，將其代入點M的坐標可求出點M的坐標，再點G的運動方向及速度，即可求出t值．

解：（1）當時，，解得，，

點在點的左側，則，.

∵，∴.

∴，，.

（2）①∵，

∴，.

∴，.

當以，，，為頂點的四邊形是平行四邊形時，，.

∵點，關于對稱軸對稱，∴.

∴點與點重合.∴.

∵，∴.∴.

∴當時，以，，，為頂點的四邊形是平行四邊形

②∵，∴.∴.

過點作軸于點.設點的坐標為，

則，，∴.

∵，∴.

∴，即.

如圖（1），當點在軸上方時，，

∴，

解得，（不合題意，舍去）.

當時， ∴.

如圖（2），當點在軸下方時，，

∴，解得，（不合題意，舍去）.

當時，.∴.

綜上所述，點從的坐標為或.

③或

解析：點在軸上，四邊形是菱形，

∴點與點重合，即，菱形對角線的交點為點.

∵，

∴.

∴.

設，則.

如圖（3），當在軸上方時，.

∵點在的圖象上，

∴，

∴

解得，（不合題意，舍去），

∴.

∴.

∴.

如圖（4），當在軸下方時，.

∵點在的圖象上，

∴.

∴.

解得，（不合題意，舍去），

∴.

∴.

∴.

綜上所述，或