Question

【題目】在平面直角坐標系內，直線與兩坐標軸交于、兩點，點為坐標原點，若在該坐標平面內有以點（不與點、、重合）為頂點的直角三角形與全等，且這個以點為頂點的直角三角形與有一條公共邊，則所有符合條件的點個數為（ ）

A. 9個 B. 7個 C. 5個 D. 3個

Answer 1

【答案】B

【解析】

可先求得A、B兩點的坐標，再分以AB為公共邊，以OA為公共邊和OB為公共邊進行分別討論求其坐標即可．

解：在y=x+3中，令x=0則y=3，令y=0則x=-4，
∴A為（-4，0），B為（0，3），可求得AB=5，
（Ⅰ）當以AB為公共邊時，分兩種情況：
（1）當PA=3，PB=4時，當P在x軸上方時，如圖1，
可知∠PBA=∠BAO，
∴PB∥OA，
∴P點坐標為（-4，3），

當P點在x軸下方時，如圖2，設PB交AO于點C，過P作PD⊥x軸，PE⊥y軸，
∵△PAB≌△OBA，
∴PB=AO=4，PA=OB=3，
設P點坐標為（x，y），則PE=DO=-x，PD=-y，AD=4+x，BE=3-y，
在Rt△PEB中，由勾股定理可得（-x）2+（3-y）2=42，整理可得x2+y2-6y=7①，
在Rt△ADP中，由勾股定理可得（4+x）2+y2=32，整理可得x2+y2+8x=-7②，
由①、②可解得x=-，y=-，
∴此時P點坐標為（-，-）；

（2）當PA=4，PB=3時，
當P在x軸上時則與O點重合，
當P在x軸上方時，如圖3，過P作PF⊥x軸，過B作BG⊥PF于點G，
∵△PAB≌△OBA，
∴PB=BO=3，PA=OA=4，
設P點坐標為（x，y），則PF=y，FO=BG=-x，AF=4+x，PG=y-3，
在Rt△AFP中，由勾股定理可得y2+（4+x）2=42，整理可得x2+y2+8x=0③，
在Rt△PGB中，由勾股定理可得x2+（y-3）2=32，整理可得x2+y2-6y=0④，
由③、④可解得x=-，y=，
∴此時P點坐標為（-,）；

（Ⅱ）當以AO為公共邊時，分兩種情況：
當P點在x上方時，與（-4，3）重合，如圖4，
當P點在x下方時，當AP=BO=3時，可求得P點坐標為（-4，-3），
當PO=BO=3時，可求得P點坐標為（0，-3），

（Ⅲ）當以BO為公共邊時，分兩種情況：
當P點在y軸左側時，與（-4，3）重合，如圖5，
當P點在y軸右側時，當BP=AO=4時，可求得P點坐標為（4，3），
當OP=OA=4時，可求得P點坐標為（4，0），

綜上可知滿足條件的P點共有七個，坐標分別為（-4，3）、（-，-）、（-,）、（-4，-3）、（0，-3）、（4，3）、（4，0）．共7點.

故選：B