Question

【題目】如圖，在直角坐標系中，直線y＝kx＋1(k≠0)與雙曲線y＝ (x＞0)相交于點P(1，m)．

(1)求k的值．

(2)若點Q與點P關于直線y＝x對稱，求點Q的坐標．

(3)若過P，Q兩點的拋物線與y軸的交點為N(0, )求該拋物線的函數表達式及其對稱軸．

Answer 1

【答案】(1) k=1．(2) 點Q(2，1)． (3) 解析式:y＝－x2＋x＋，對稱軸:x＝－

【解析】分析：（1）直接利用圖象上點的坐標性質進而代入求出即可;(2)連接PO，QO，PQ，作PA⊥y軸于A，QB⊥x軸于B，于是得到PA=1，OA=2，根據點Q與點P關于直線y=x成軸對稱，得到直線y=x垂直平分PQ，根據線段垂直平分線的性質得到OP=OQ，根據全等三角形的性質得到QB=PA=1，OB=OA=2，于是得到結論;(3)設拋物線的函數解析式為y=ax+bx+c，把P、Q、N（0， ）代入y=ax+bx+c，解方程組即可得到結論．

本題解析：

(1)把點P(1，m)代入y＝，得m＝2，

∴點P(1，2)．

把點P(1，2)代入y＝kx＋1，得k＝1.

(2)設點Q(a，b)．

∵點Q與點P關于直線y＝x對稱，點P(1，2)，

∴＝，∴b＝a－1.

∵直線y＝x過原點，

∴OP＝OQ，∴，

解得a1＝2，a2＝－1(不合題意，舍去)．∴點Q(2，1)．

(3)設拋物線的函數表達式為y＝ax2＋bx＋c.

由題意，得 解得

∴y＝－x2＋x＋，

∴對稱軸為直線x＝－.